Еще Хит полагал, что основа всех трех арифметических книг Евклида (VII-IX) восходит к пифагорейцам, [632] имея в виду, разумеется, и Феодора, и Архита. Однако раннепифагорейская арифметика отражена в собрании Евклида лишь в очень небольшом объеме, остальной материал дошел до нас через посредство неопифагорейцев. Тем не менее подавляющее большинство историков греческой математики от Таннери и Хита до ван дер Вардена и Кнорра относит значительную часть этого материала к концу VI-середине V в. Буркерт противопоставил этому консенсусу совершенно иной взгляд: до Архита пифагорейская арифметика состояла из заимствованных у вавилонян формул, числовой мистики и туманных спекуляций о четном и нечетном. [633] Несмотря на высокий филологический уровень его анализа, показавшего немало слабых мест в прежних реконструкциях, позиция Буркерта не получила серьезной поддержки среди историков математики, ибо против нее говорит слишком много фактов.

Если в геометрии пифагорейцы отнюдь не были монополистами, то в арифметике все известные нам математики вплоть до Фимарида, жившего уже в середине IV в., [634] либо прямо связаны с пифагорейской школой, либо были учениками пифагорейцев, как Теэтет и Евдокс. Едва ли случайно сам Архит считал, что арифметика (или теория чисел — ?????????) превосходит геометрию, поскольку дает доказательства там, где геометрия бессильна (47 В 4). [635] Очевидно, что это суждение относится к предшествующей ему математике, причем математике по преимуществу пифагорейской, в которой арифметическая компонента присутствует с самого начала. [636] Высокий уровень арифметических доказательств самого Архита подразумевает наличие уже сложившейся и дедуктивно развитой дисциплины. Недаром многие склонны полагать, что до Архита существовал арифметический компендий, аналогичный «Началам» Гиппократа в геометрии. [637]

Не вдаваясь в детали уже существующих реконструкций пифагорейской арифметики, [638] отметим их наиболее существенные результаты. Как показал Беккер, часть IX книги, т. е. предложения 21-34 и те определения VII книги, на которые они опираются, восходят к самому раннему этапу пифагорейской арифметики. [639] Это учение о четных и нечетных числах вполне может принадлежать Пифагору, равно как и метод построения фигурных чисел. [640] Ван дер Варден относит VIII книгу к Архиту или его школе, VII книгу — к пифагорейцам до Архита. [641] В качестве возможного автора VII книги следует назвать Феодора. Так же, как его ровесник Гиппократ свел воедино в своих «Началах» те вещи, которые он считал необходимыми для дальнейшего развития геометрии, Феодор мог обработать и систематизировать известный ему арифметический материал.

Разумеется, далеко не все, что было известно ко времени Евклида, попало в арифметические книги «Начал». Значительная часть этого материала казалась малопригодной для той систематической теории чисел, которую представляет собой Евклидова арифметика. Через посредство спевсипповского трактата «О пифагорейских числах» и эллинистических компендиев материал этот оказался доступным неопифагорейским авторам и нашел в них горячих почитателей. Некоторые вещи всплывают еще позже, как например, метод нахождения соотношений стороны и диаметра квадрата (так называемых ????????? ??? ??????????? ???????), который трактует Прокл в комментарии к «Государству». [642] Этот алгоритм сводится к теореме о том, что квадрат иррационального диаметра отличается на единицу от квадрата соответствующего рационального диаметра. [643] В отличие от данного арифметического метода соответствующая геометрическая теорема попала в собрание Евклида (11,10), причем ее терминология, равно как и само нахождение во II книге указывают на пифагорейское происхождение. [644]

Несмотря на весьма активное в последние десятилетия исследование раннегреческой геометрии, здесь по-прежнему остается немало проблем. С одной стороны, ясно, что далеко не все положения, вошедшие в первые четыре книги Евклида, появились в период между Гиппасом и Гиппократом. Часть из них была доказана еще Фалесом и Пифагором, а возможно, и какими-то другими математиками VI в., не относившимися к пифагорейской школе. [645] С другой стороны, маловероятно, чтобы Гиппасу принадлежали только те открытия, о которых сообщает традиция, — математик такого уровня должен был сделать гораздо больше. Впрочем, тот же вопрос правомерен и в отношении других математиков V в. — как пифагорейцев, так и непифагорейцев. Анаксагор и Энопид были на несколько десятилетий старше Гиппократа, Демокрит и Феодор принадлежат к его поколению. Ограничиваются ли их открытия лишь тем, что мы о них знаем?

Во многих случаях внутренняя логика развития математики позволяет компенсировать скудность исторических свидетельств и отнести ту или иную проблему либо даже целую книгу из собрания Евклида к определенному периоду. Однако этих свидетельств все же слишком мало для надежного атрибутирования. В итоге ситуация выглядит весьма парадоксально: совокупность открытий всех известных нам по именам математиков — от Фалеса до Феодора — оказывается едва ли ни сопоставимой с тем, что традиция приписывает анонимным пифагорейцам! Однако тот известный и неприятный факт, что источники сообщают совсем не то, что нам нужно, не следует принимать за стремление античных авторов приписать пифагорейцам открытия, им не принадлежавшие, или за особую склонность пифагорейцев к анонимности. Вообще все, что нам известно о раннегреческой математике, известно случайно, и если бы, скажем, до нас не дошел комментарий Прокла к I книге Евклида, то мы знали бы о ней еще в десять раз меньше. В таком положении приходится довольствоваться тем, что можно извлечь из источников, и если они говорят о главенствующей роли пифагорейцев в построении дедуктивной математики, сомневаться в этом нет оснований.

Пожалуй, никакому другому искусству греки не посвящали столько специальных сочинений, как музыке. До нас дошли музыкально-теоретические трактаты Аристоксена, Евклида, Клеонида, Никомаха из Герасы, Птолемея, Аристида Квинтилиана, Гауденция и др. Некоторые музыковедческие трактаты анонимны или приписываются знаменитостям, например Аристотелю или Плутарху, множество других известно только по фрагментам или названиям. Автором первого специального сочинения о музыке считают Ласа из Гермионы, современника Пифагора, а через тысячу лет после него один из последних носителей античной учености римлянин Боэций свел в своем труде «Наставления к музыке» большую часть того, что было сделано греками в этой области.

Широкая увлеченность греков музыкально-теоретическими вопросами во многом объясняется той огромной ролью, которую играла музыка в системе греческого образования и культуры в целом. Когда Платон писал, что «необученный музыке — невежда», он явно выражал общее мнение эпохи. Музыкальное образование наряду с обучением грамоте становится традиционным уже с VI в. Что касается пифагорейцев, то они считали музыку одним из важнейших средств этического воспитания. По словам Аристоксена, они «использовали медицину для очищения тела, а музыку для очищения души» (fr. 26). Пифагорейцы действительно применяли музыку для лечения различных болезней и расстройств, прежде всего душевных, [646] но понятие ???????? явно имеет здесь не только медицинский, но и религиозно-этический смысл. Усиление этического начала в греческой религии, связанное в том числе и с именем Пифагора, влекло за собой постепенную замену старых ритуальных способов очищения другими, более тесно связанными с духовной жизнью человека. Как говорил тот же Аристоксен, пифагорейцы приписывали музыке способность смягчать «необузданность души» (fr. 121).