Шрифт:
Как-то после обеда Купер сказал нам, чтобы каждый написал свой день рождения на листке бумаги, сложил его вдвое и передал вперед. Он поднял над головой пятидолларовую банкноту. "Держу пари, что как минимум у двоих из вас один и тот же день рождения. Желающие есть?"
— Ставлю свои пять, — сказал один из волейболистов. Еще семь-восемь человек выложили по пять долларов на свои столы. Поразмыслив, я решил, что раз в году 365 дней, но в классе только порядка 50 студентов, Купер давал нам шанс выиграть легкие деньги. Однако, убедившись за последние несколько дней, что все мои ответы оказывались неверными, свои доллары я оставил нетронутыми в заднем кармане. Купер развернул первый лист и вслух прочел дату. Поднялись три руки. Студенты, выложившие деньги, застонали, в то время как все прочие кругом смеялись.
Углубив нас в математику, Купер продемонстрировал, что в группе нашего размера вероятность совпадения двух дней рождений превышает 90 процентов. [2] Затем он отложил кусочек мела и прошелся по комнате, собирая урожай пятидолларовых банкнот. "Один из уроков, которые мы хотим вам здесь преподать, — жизнерадостно сообщил он, — это тот факт, что строгие математические рассуждения могут принести большую выгоду".
По окончании каждого послеполуденного занятия я совершал небольшие пробежки по кэмпусу, чтобы рассеяться. Потом покупал себе в буфете кусок пиццы с банкой диетической пепси и шел обратно в Вилбур-холл, общежитие для студентов, к которому я был приписан вплоть до начала основного курса.
2
2 Пока Купер излагал нам математические выкладки, я вел тщательный конспект. До сих пор не могу следовать этой нити рассуждений более чем на тридцать секунд, после чего теряюсь вновь и вновь. Впрочем, приведу здесь свои записи для читателей, испытывающих аппетит к математике.
— Самый простой путь решения задачи, — сказал Купер, — это двигаться от обратного, рассчитав вероятность того, что в группе из 50 человек не будет совпадений в днях рождения.
Для «группы» из одного человека, объяснил Купер, вероятность несовпадения равна 365/365 или 1, поскольку нет никого, с кем может быть совпадение. Что же касается второго человека, то вероятность несовпадения его дня рождения с днем рождения первого человека равна 364/365. То есть, имеется 364 дня, отвечающих требуемому условию невыпадания дня рождения на такую же дату для первого человека. Что же до третьего человека, то для него остается только 363 несовпадающих дня. Другими словами, лишь если день рождения второго человека выпадает на 364 несовпадающих дня, а день рождения третьего — на оставшиеся 363 несовпадающих дня, то только в этом случае не будет двух одинаковых дней рождения.
— Мы можем распространить эти рассуждения далее, — сказал Купер, — Лишь только в том случае, когда ни один из 50 дней рождения не выпадает на любой из других 49 дней, у нас будет ситуация с неодинаковыми датами. Поскольку вероятность одновременного наступления нескольких независимых событий является произведением их простых вероятностей, мы можем выразить вероятность полного несовпадения следующим образом.
Купер написал:
— Или, — добавил он, все еще не отрываясь от доски, — упрощая:
— Посчитав это на калькуляторе, — сказал Купер, — вы в итоге получите 0,03, или 3 процента. А если вероятность несовпадения равна 3 процентам, то вероятность совпадения — то есть, события, когда минимум у двоих будет одинаковый день рождения — составит 97 процентов, или лучше, чем девять шансов из десяти.
В моей комнате имелись две металлические кровати, по типу армейских, с замызганными матрасами, еще пара больших, помятых металлических столов и два обшарпанных деревянных шкафа. Здесь я пригибал гусиную шею заржавленной лампы ближе к своим книгам и начинал решать задачи.
Задачи, например, вот такого типа:
Если связь между совокупными затратами и числом изготовленных единиц продукции линейная, и если затраты увеличиваются на $5 при изготовлении каждой единицы продукции, и если совокупные затраты на выпуск 100 единиц продукции составляют $600, то каким уравнением будет описываться связь между совокупными затратами и количеством изготовленных единиц продукции?
Или, скажем, мне встречалась такая задача:
Какие значения x удовлетворяют следующему уравнению?
x2 — 8x + 15 = 0
Или вот еще такая:
Пусть многочлен
y = p(x) = anxn + an-1xn-1 +… + a1x + a
представляет собой полиномиальную функцию. Пользуясь теоремами, которые мы обсуждали в классе, решить следующее уравнение:
Когда по истечении двух-трех часов уже не оставалось сил все это выносить, я спускался в холл к телефону-автомату, вытаскивал кредитную карточку и звонил своей подруге, Эдите, в Феникс.
Эдита работала через коридор от меня в Белом доме, в службе деловых переговоров. Мы встречались уже года два, но так как никто из нас не ощущал себя готовым к браку, было решено проверить чувства испытанием, расставшись на некоторое время. Пока я был в Стенфорде, Эдита пробовала свои силы в аспирантуре международного менеджмента при Американском университете. Она поменяла Вашингтон на Аризону недели за две до моего отъезда в Калифорнию.
3
3 Ответ на первую задачу: Совокупные затраты = 5 умножить на число изготовленных единиц продукции + 100. Ответ на вторую задачу: 5 и 3. А ответ на третью задачу такой: p(b). (Если бы кое-кто из моих сокурсников в Стенфорде взялись писать эту книгу, они бы указали здесь номер телефонной справочной и брали бы по доллару за каждый сообщенный ответ).
— Меня здесь тошнит, — говорила Эдита.
— Тебя там тошнит? — отвечал я. — Меня тут тошнит.
— Подними мне настроение.
— Нет, это ты мне подними настроение.
— Нет, ты первый.
Эти звонки стали ранним, еще не вполне осознаваемым предвестником феномена, который в конечном итоге нам обоим пришлось признать. Бизнес-школа — враг романтики.
Потом я звонил родителям.
— Мне это напоминает твои первые недели в оксфордской аспирантуре, — говорила мне мать. — Разве ты не помнишь, с каким трудом привыкал к Англии?
— Тут дела по-другому, — отвечал я. — У меня уже годы не те. Тебе не кажется странным, что зрелый мужчина в тридцать один год звонит родителям в поисках утешения?
— Боже сохрани, конечно, нет! Родители всегда останутся родителями. Ты просто держись.
Затем трубку брал отец.
— Пап, ты сам чего думаешь? Может, мне взять и вернуться обратно в Вашингтон, поискать там чего-нибудь в пиаре, а?
— Ты все обдумал сам, прежде чем ехать, — отвечал отец. — Сейчас ты обязан перед самим собой продержаться, по крайней мере, до Рождества.
Затем я звонил Конору.
— Ну, как учеба? — интересовался я.
— Учеба-то? — отвечал Конор. — Нашего маленького вот уже с полчаса как рвет. Желудочный грипп. Если мне удастся уложить его спать, то смогу приступить к куперовским задачкам. Но я и так знаю, что ничего в них не пойму и к тому времени уже сам буду полусонный.
И пусть разговоры с подружкой и родителями давали мало утешения, такого рода беседы с Конором всегда несколько поднимали мой дух. Конор страдал от тех же напастей, что я сам, и к тому же ему было еще хуже.