Во-вторыхъ, давались задачи съ оотроумнымъ содержаніемъ и требовавшія особенной изворотливости и догадки. Вотъ задача изъ сборника, приписываемаго Алькуину (въ 8 в. по Р. X). Рукопись относится приблизительно къ 1000 г. по Р. X. «Два человка купили на 100 сольдовъ свиней и платили за каждыя пять штукъ по 2 сольда. Свиней они раздлили, продали опять каждыя 5 штукъ по 2 сольда и при этомъ получили прибыль. Какъ это могло случиться? А вотъ какъ: на 100 сольдовъ приходится 250 свиней, ихъ они раздлили пополамъ, на 2 стада, и изъ перваго стада отдавали по 2 свиньи на 1 сольдъ, а изъ второго по 3; тогда достаточно выдать по 120 штукъ изъ каждаго стада, такъ какъ придется получить 60 сольдовъ за свиней перваго стада, 40 за свиней второго, всего 100 сольдовъ; 5-ть же штукъ изъ каждаго стада останется въ прибыли». Требуется разгадать эту загадку.

Въ сборник Алькуина содержится извстная загадка о волк, коз и капуст, которыхъ надо перевезти черезъ рку, съ такимъ условіемъ, что въ лодк нельзя помщать волка съ козой, козы съ капустой, и оставлять на берегу тоже нельзя вмст, потому что они съдятъ; какъ же это устроить?

 Лучшій сборникъ задачъ-загадокъ издалъ Баше-де-Мезиріакъ въ 1612 году, заглавіе его такое: Probl`emes plaisantes et d`elictables qui se font par les nombres. Въ немъ помщена большая часть тхъ задачъ, какія встрчаются и сейчасъ въ сборникахъ этого рода, наприм., о задуманныхъ числахъ, о работник, котораго нанимаетъ хозяинъ съ условіемъ платить ему за рабочіе дни и вычитать за прогульные, и т. д.

 Въ старинныхъ русскихъ ариметикахъ можно отмтить такія интересныя задачи: «I. Пришелъ христіянинъ въ торгъ и принесъ лукошко яицъ. И торговцы его спрошали: много-ли у тебя въ томъ лукошк яицъ? И христіянинъ молвилъ имъ такъ: язъ, господине, всего не помню на перечень, сколько въ томъ лукошк яицъ. Только язъ помню: перекладывалъ язъ т яйца изъ лукошка по 2 яйца, ино одно яйцо лишнее осталось на земли; и язъ клалъ въ лукошко по 3 яйца, ино одно же яйцо осталось; и язъ клалъ по 4 яйца, ино одно же яйцо осталось; и язъ клалъ по 5 яицъ, ино одно же яйцо осталось: и язъ ихъ клалъ по 6 яицъ, ино одно же яйцо осталось; и язъ клалъ по 7 яицъ, ино все посему пришло. Ино, сколько яицъ въ томъ лукошк было, сочти ми? Придетъ было 721. II. Левъ сълъ овцу однимъ часомъ, а волкъ сълъ овцу въ 2 часа, а песъ сълъ овцу въ 3 часа. Ино, хощешь вдати, сколько бы они вс три: левъ, волкъ и песъ овцу съли вмст вдругь и сколько бы они скоро ту овцу съли, сочти ми [11] )?

III. О деньгахъ въ куч вдати. Аще хощеши въ куч деньги вдати, и ты вели перевесть по 3 деньги. А что останется отъ 3-хъ—2 или 1, и ты за 1 по 70. Да опять вели перевести по 5, и что останется—4 или 3, или 2, или 1, и ты за 1 клади по 21. Да опять вели перевести по 7, и что останется — 6 или 5, или 4, или 3, или 2, или 1, и ты тако же за всякій 1 клади по 15. Да что въ остаткахъ перечни родились, и т перечни сочти вмсто, а сколько станетъ, и ты изъ того перечню вычитай по 105, и что останется отъ сто пяти или сама сто пять, то столько въ куч и есть».

Немаловажной статьей среди математическихъ развлеченій были магическіе квадраты. Что такое магическій квадратъ? Это рядъ чиселъ отъ 1 и до какого-нибудь предла, размщенныхъ по клткамъ квадрата такъ, что сумма чиселъ по діагоналямъ и по сторонамъ остается постоянной. Вотъ примры, взятые изъ сборника Алькуина (этотъ ученый особенно любилъ магическіе квадраты):

Они встръчаются въ сочиненiяхъ секты «Чистыхъ братьевъ», существовавшей въ X в. по Р. X. въ г. Аль-Бассра. Эта секта приписывала магическимъ квадратамъ особенную таинственную силу. Врили, что они способны измнить расположеніе звздъ при рожденіи младенца и помочь ему.

Въ конц ариметики Іоанна Севильскаго (1150 года) приведенъ такой магическій квадратъ:

Объясненія не дано, только помщены т же самыя черточки, какія и на этомъ чертеж.

Исторія алгебры.

Хотя народы древвяго міра не знали нашей алгебры, но это не мшало имъ заниматься такими вопросами, которые принадлежатъ, собственно говоря, алгебр. Еще у египтянъ въ древнйшей рукописи-папирус Ринда ршаются уравненія первой степени съ однимъ неизвстнымъ; въ этихъ уравненіяхъ мы встрчаемъ и знаки, напр., своеобразный знакъ равенства / / . Задача помщена, между прочимъ, такая: « 2/3 цлаго числа вмст съ его 1/2 , и 1/7 и съ этимъ же цлымъ числомъ даютъ 33, найти неизвстное»; прежде всего отбираются извстные члены въ одну часть, а неизвстные въ другую, коэффиціенты при неизвстныхъ представляются основными дробями (т. е. съ числителемъ 1) или же выражаются въ одинаковыхъ доляхъ и складываются; величина неизвстнаго опредляется такъ: въ первомъ случа умножается коэффиціентъ на подходящее число, такъ чтобы въ произведеніи получился извстный членъ, а во второмъ множатъ извстный членъ на знаменателя коэффиціента и полученное длятъ на числителя.

Греческіе ученые занимались алгеброй въ періодъ времени съ VI ст. до Р. X. и кончая IV ст. по Р. X. Они разработали нсколько отдловъ ея, но ихъ труды идутъ въ иномъ направленіи, чмъ какого держится новйшая математика, именно они носятъ на себ геометрическую окраску.

Прежде всего Пиагоръ (въ VI ст. до Р. X.) и Платонъ (въ V ст.) ршили въ цлыхъ числахъ уравненіе х2+y2=z2.

Пиагоръ далъ такія формулы:

гд а равно любому нечетному числу; по Платону

гд а любое четное число.

Діофантъ, жввшій въ Александріи въ 4 в. по Р. X., оказалъ алгебр большія услуги. До него древніе не знали употребленія буквъ при доказательствахъ въ общемъ вид, Діофантъ же первый сталъ вводить различные знаки для неизвстныхъ величинъ, главнымъ образомъ греческія буквы; ему обязана своей разработкой глава объ уравненіяхъ, именно объ уравненіяхъ первой степени со многими неизвстными и о полныхъ квадратныхъ уравненіяхъ. Вотъ примръ изъ Діофанта: