Все это наводит на мысль, что предупреждение, обращенное Платоном ко всем, кто несведущ в геометрии (упоминание об этом можно найти в «Тимее», 54 а), могло иметь достаточно определенную направленность, о которой мы говорили ранее, и что оно могло быть связано с верой в то, что геометрия важнее арифметики (см. «Тимей», 31 с). Это, в свою очередь, могло бы объяснить нам, отчего «равенство отношений» (пропорцию), которое Платон считал более аристократичным, чем демократическое арифметическое или численное равенство, он позднее отождествил с «геометрическим равенством», упоминаемом в «Горгии», 508 а (см. прим. 48 к настоящей главе), а также почему многие (например, Плутарх, loc. cit.) отождествляли арифметику с демократией, а геометрию со спартанской аристократией, вопреки тому почти забытому ныне факту, что пифагорейцы были не менее аристократично настроены, чем сам Платон, и что в их программе главное внимание уделялось арифметике, а термин «геометрическое» на их языке означал некоторый род числовых (т.е. арифметических) отношений.

(3) Для объяснения строения первичных тел в «Тимее» Платон обращается к понятиям элементарного квадрата и элементарного равностороннего треугольника. Эти две фигуры, в свою очередь, составлены из двух различных видов субэлементарных треугольников: полуквадрата, длина одной из сторон которого кратна 2, и половины равностороннего треугольника, длина одной из сторон которого кратна 3. Вопрос, почему Платон избрал именно эти два треугольника, а не квадрат и равносторонний треугольник, широко обсуждался. Исследователей интересовал также вопрос (см. п. (4) далее), почему он строил элементарные квадраты из четырех, а не из двух полуквадратов, а элементарный равносторонний треугольник — из шести, а не из двух субэлементарных треугольников. (См. рис. 1 и 2).

Рис. 1. Платоновский элементарный квадрат, составленный из четырех субэлементарных равнобедренных прямоугольных треугольников

Рис. 2. Платоновский элементарный равносторонний треугольник, составленный из шести субэлементарных неравнобедренных треугольников

Как мне кажется, большинство исследователей не сумели понять того, что Платон, горячо интересуясь проблемой иррациональности, не стал бы вводить две иррациональные величины 2 и 3 (о которых он отчетливо говорит в отрывке «Тимей», 54 b) в свои субэлементарные треугольники, если бы он не стремился использовать именно эти иррациональные величины в качестве неделимых далее элементов его мира (Ф. Корнфорд — см. F. M. Cornford. Plato's cosmology, pp. 214, 231 и след. — долго обсуждает оба эти вопроса, однако предлагаемое им общее решение — «гипотеза», как он называет его (р. 234) — кажется мне неприемлемым. Если бы Платон действительно хотел получить некоторую «градацию» вроде той, о которой говорит Корнфорд — хотя у Платона нигде не упоминается о существовании чего-то меньшего, чем то, что Корнфорд называет «уровнем В», — то ему было бы достаточно разделить пополам стороны элементарных квадратов и равносторонних треугольников, построив элементы «уровня В» Корнфорда из четырех элементарных фигур, не содержащих иррациональных величин.) Однако, если Платон хотел привнести эти иррациональные величины в мир в качестве сторон субэлементарных треугольников, из которых состоят все вещи, то он, должно быть, полагал, что способен тем самым решить проблему «природы (соизмеримости и) несоизмеримости» («Законы», 820 с). Несомненно, что эту проблему было почти невозможно решить на основе той или иной разновидности атомистической космологии, поскольку иррациональные величины не могут быть выражены множеством каких-либо единиц, предназначенных для счета рациональных чисел. Однако, если сами единицы измерения будут выражены отрезками, находящимися в «иррациональных отношениях», то этого величайшего парадокса можно будет избежать: ведь такими единицами смогут быть измерены как рациональные, так и иррациональные величины, а потому существование иррациональных величин больше не будет казаться непостижимым или «иррациональным».

Платону было известно, что существуют и другие иррациональные величины, помимо 2 и 3. В «Теэтете» он говорит об открытии бесконечной последовательности иррациональных квадратных корней (в отрывке 148 b он говорит также и о том, что эти соображения могут быть применены «и для объемных тел», однако это не обязательно должно относиться к кубическим корням: возможно, здесь Платон имел в виду длину диагонали куба, кратную 3). В «Гиппии Большем» (303 b-с, см. также: Т. Heath, op. cit., p. 304) он упоминает о том, что путем сложения или применения других арифметических правил к иррациональным величинам могут быть получены другие иррациональные величины, а также рациональные числа. Платон, вероятно, имеет в виду, что, например, величина, задаваемая выражением 2 - 2 является иррациональной, а поэтому сложение этой величины с 2 будет давать, конечно, рациональное число). Очевидно, что если Платон хотел решить проблему иррациональности путем использования изобретенных им элементарных треугольников, то он должен был полагать, что все иррациональные величины (или, по крайней мере, кратные им числа) могут быть получены путем сложения и умножения (а) единиц, (b) 2 и (с) 3.

Конечно же, это было ошибочное утверждение, однако во времена Платона не могло еще существовать доказательства его ошибочности, а утверждение, что существуют только два вида атомарных иррациональных величин (а именно — длины диагоналей квадрата и куба с единичными сторонами) и что все другие иррациональные величины арифметически выводимы из (а) единиц (b) 2 и (с) 3 , могло казаться достаточно правдоподобным, если учесть относительный характер иррациональных величин. (Я имею в виду, что можно назвать иррациональной и диагональ квадрата с единичной стороной и сторону квадрата с единичной диагональю. Следует также помнить, что Евклид в книге X, определение 2, все еще характеризует все несоизмеримые квадратные корни «соизмеримостью их квадратов».) Поэтому Платон вполне мог верить в эту гипотезу, хотя у него не могло быть никаких ее доказательств. (Впервые ее опровержение было дано, по-видимому, Евклидом.) Существует одно несомненное упоминание о некоторой недоказанной гипотезе в том месте «Тимея», где Платон говорит о причинах предпочтения субэлементарных треугольников («Тимей», 53 c/d): «Все вообще треугольники восходят к двум, из которых каждый имеет по одному прямому углу и по два острых, но при этом у одного [полуквадрата] по обе стороны от прямого угла лежат равные углы величиной в одну и ту же долю прямого угла, ограниченные равными сторонами, а у другого [полуравностороннего] — неравные углы, ограниченные неравными сторонами. Здесь-то мы и полагаем начало огня и всех прочих тел, следуя в этом вероятности [или вероятной гипотезе], соединенной с необходимостью [доказательством]; те же начала, что лежат еще ближе к истоку, ведает бог, а из людей разве что тот, кто друг богу». И далее, сказав, что существует бесконечное множество неравнобедренных треугольников, из которых следует выбрать «наилучшие», и объяснив, почему наилучшими он считает половины равносторонних треугольников, Платон говорит («Тимей», 54 а-b; Корнфорд был вынужден смягчить этот отрывок, чтобы согласовать его со своей интерпретацией): «Обосновывать это было бы слишком долго (впрочем, если бы кто изобличил нас и доказал обратное, мы охотно признали бы его победителем)». Платон не объясняет, что он понимает под словом «это» — должно быть, он имеет в виду некоторое гипотетическое математическое свойство, оправдывающее при выборе одного треугольника, содержащего величину 2, выбор другого треугольника, содержащего 3. В свете изложенных мною соображений, я полагаю, что Платон говорит здесь о предполагаемой относительной рациональности остальных иррациональных чисел, т.е. о их соизмеримости с единицей, квадратным корнем из двух и квадратным корнем из трех.

(4) Еще одним подтверждением моей интерпретации — хотя я и не нахожу в его пользу никаких свидетельств в текстах Платона — могут послужить следующие соображения. Любопытно, что сумма 2 + 3 дает очень близкое приближение к числу (см. Е. Воrel. Space and Time, 1926, 1960, p. 216; мое внимание к этому факту, правда, в другом контексте, привлек У. Маринелли). Поправка здесь не превышает 0.0047, т.е. составляет менее чем полторы тысячных от значения числа . Едва ли во времена Платона было известно лучшее приближенное значение этого числа. Некоторое объяснение этому любопытному факту может состоять в том, что среднее арифметическое площадей описанного шестиугольника и вписанного восьмиугольника является хорошим приближением к площади круга. Вспомним теперь, во-первых, то, что Брайсон исследовал свойства вписанных и описанных многоугольников (см. Т. Heath, op. cit., p. 224), и, во-вторых, то, что Платон интересовался сложением иррациональных величин и поэтому должен был попытаться получить сумму 2+3. Существуют два доступных Платону способа получения приблизительного равенства 2+3 , второго из которых Платон, по-видимому, не мог избежать. Весьма вероятно, что Платону было известно это соотношение, хотя он и не мог доказать, выражает ли оно строгое равенство или лишь хорошее приближение.

Если моя гипотеза подтвердится, то мы сможем ответить и на второй вопрос, о котором говорилось ранее в пункте (3) — на вопрос, почему Платон строил свой элементарный квадрат из четырех субэлементарных треугольников (полуквадратов) вместо двух, а элементарный равносторонний треугольник — из шести субэлементарных полу треугольников вместо двух. Если мы взглянем на рис. 1 и рис. 2, то увидим, что выделенной точкой на них оказывается центр описанной окружности и что на обоих рисунках представлены также ее радиусы. (На рис. 2 представлен еще и радиус вписанной окружности, однако Платон, по-видимому, имел в виду радиус именно описанной окружности, называя его при изложении метода построения равностороннего треугольника «диагональю» — см. «Тимей», 54 d-e и 54 b.)

Если мы теперь впишем элементарный квадрат и равносторонний треугольник в круг с радиусом r, то обнаружим, что сумма сторон этих двух фигур будет приближаться к , т.е. чертеж Платона предлагает одно из простейших приблизительных решений проблемы квадратуры круга, как показано на трех наших рисунках. В свете всего сказанного можно предположить, что платоновская гипотеза и его готовность «признать победителем» того, кто сможет его опровергнуть, о чем мы говорили в пункте (3), относятся не только к общей проблеме несоизмеримости иррациональных величин, но и к частной проблеме выяснения того, выражает ли сумма 2+3 площадь единичного круга.