Шрифт:
DL = L (h),
т. е. зависит только от векторного приращения h, и притом линейно. Функция f (x) называется дифференцируемой при значении аргумента х, если её приращение Df = f (x + h) - f (x), рассматриваемое как функция от h, имеет главную линейную часть L (h), т. е. выражается в виде
Df = L (h) + R (h),
где остаток R (h) при h ® 0 бесконечно мал по сравнению с h. Главная линейная часть L (h) приращения Df и называется дифференциалом df функции f в точке x. При этом в зависимости от того, в каком смысле понимается бесконечная малость R (h) по сравнению с h, различают слабый дифференциал, или дифференциал Гато, и сильный дифференциал, или дифференциал Фреше. Если существует сильный Д., то существует и слабый Д., равный сильному Д. Слабый Д. может существовать и тогда, когда сильный не существует.
В случае f (x) o x из общего определения следует, что df = h, т. е. можно приращение h считать Д. аргумента x и обозначать dx.
Если сделать теперь переменной точку x, в которой определяется Д. df, то он будет функцией двух переменных:
df (x; h).
Далее, считая h = h1 постоянным, можно найти Д. от дифференциала df (x; h1) как главную часть приращения
df (x + h2; h1) — df (x; h1),
где h2 — некоторое второе, не связанное с h1 приращение x. Получаемый таким образом второй дифференциал d2f = d2f (x; h1, h2) является функцией трёх векторных аргументов x, h1 и h2, линейной по каждому из двух последних аргументов. Если d2f непрерывно зависит от x, то он симметричен относительно h1 и h2:
d2f (x; h1, h2) = d2f (x; h2, h1).
Аналогично определяется дифференциал dnf = dnf (x; h1,..., hn) любого порядка n.
В вариационном исчислении сам векторный аргумент x является функцией x (t), а дифференциалы df и d2f функционала f [x (t)] называются его первой и второй вариациями и обозначаются df и d2f.
Всюду выше речь шла об обобщении понятия Д. на числовые функции векторного аргумента. Существует обобщение понятия Д. и на случай вектор-функций, принимающих значения в банаховых пространствах.
Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 2 изд., М., 1967; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, М., 1970; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; Дьедонне Ж., Основы современного анализа, пер. с англ., М., 1964.
А. Н. Колмогоров.
Дифференциал (технич.)
Дифференциа'л,дифференциальный механизм в приводе ведущих колёс автомобиля, трактора или др. транспортных машин. Д. обеспечивает вращение ведущих колёс с разными относительными скоростями при прохождении кривых участков пути.
Дифференциальная геометрия
Дифференциа'льная геоме'трия, раздел геометрии, в котором геометрические образы изучаются методами математического анализа. Главными объектами Д. г. являются произвольные достаточно гладкие кривые (линии) и поверхности евклидова пространства, а также семейства линий и поверхностей. Обычно в Д. г. исследуются локальные свойства геометрических образов, которые присущи сколь угодно малой их части. Рассматриваются также и свойства геометрических образов в целом (например, свойства замкнутых выпуклых поверхностей).