Следующие два простых примера могут служить иллюстрацией к сказанному.

1) Если тело, нагретое до температуры Т, помещено в среду, температура которой равна нулю, то при известных условиях можно считать, что приращение DТ (отрицательное в случае T > 0) его температуры за малый промежуток времени Dt с достаточной точностью выражается формулой

DT = -kTDt,

где k — постоянный коэффициент. При математической обработке этой физической задачи считают, что выполняется точно соответствующее предельное соотношение между дифференциалами

dT = -kTdt, (1)

т. е. имеет место Д. у.

T' = -kT,

где T' (обозначает производную по t. Решить полученное Д. у., или, как выражаются иначе, проинтегрировать его, значит найти функции, обращающие его в тождество. Для уравнения (1) все такие функции (т. е. все его частные решения) имеют вид

Т = Ce– kt, (2)

где С постоянно. Сама формула (2) с произвольной постоянной С называется общим решением уравнения (1).

2) Пусть, например, груз р массы m подвешен к пружине и находится в положении равновесия (рис. 1, а). Отклоняя его от положения равновесия с помощью растяжения пружины (рис. 1, б), приводят груз в движение. Если x (t) обозначает величину отклонения тела от положения равновесия в момент времени t, то ускорение тела выражается 2-й производной x'' (t). Сила mх'' (t), действующая на тело, при небольших растяжениях пружины по законам теории упругости пропорциональна отклонению x (t). Т. о., получается Д. у.

mх" (t) = – kx (t). (3)

Его решение имеет вид:

и показывает, что тело будет совершать гармонические колебания (рис. 1, в).

Теория Д. у. выделилась в самостоятельную детально разработанную научную дисциплину в 18 в. (труды Д. Бернулли, Ж. Д' Аламбера и особенно Л. Эйлера).

Д. у. делятся на «обыкновенные», содержащие производные одной или нескольких функций одного независимого переменного, и «уравнения с частными производными», содержащие частные производные функций нескольких независимых переменных. Порядком Д. у. называется наибольший порядок входящих в него производных. Так, например,

есть Д. у. с частными производными 2-го порядка.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Уравнения 1-го порядка. Обыкновенным Д. у. 1-го порядка с одной неизвестной функцией (только такие пока будут рассматриваться) называется соотношение

F (x, у, у') = 0 (А)

между независимым переменным х, искомой функцией у и её производной

Если уравнение (А) может быть разрешено относительно производной, то получается уравнение вида

y' = f (x, у). (Б)

Многие вопросы теории Д. у. проще рассматривать для таких разрешённых относительно производной уравнений, предполагая функцию f (x, y) однозначной.

Уравнение (Б) можно записать в виде соотношения между дифференциалами

f (x, y) dx– dy = 0,

тогда оно становится частным случаем уравнений вида

Р (х, у) dx + Q (x, у) dy = 0. (В)

В уравнениях вида (В) естественно считать переменные х и у равноправными, т. е. не интересоваться тем, какое из них является независимым.

Геометрическая интерпретация дифференциальных уравнений. Пусть у = у (х) есть решение уравнения (Б). Геометрически это значит, что в прямоугольных координатах касательная к кривой у = у (х) имеет в каждой лежащей на ней точке М (х, у) угловой коэффициент k = f (x, у). Т. о., нахождение решений у = у (х) геометрически сводится к такой задаче: в каждой точке некоторой области на плоскости задано «направление», требуется найти все кривые, которые в любой своей точке М имеют направление, заранее сопоставленное этой точке. Если функция f (x, у) непрерывна, то это направление меняется при перемещении точки М непрерывно, и можно наглядно изобразить поле направлений, проведя в достаточно большом числе достаточно густо расположенных по всей рассматриваемой области точек короткие чёрточки с заданным для этих точек направлением. На рис. 2 это выполнено для уравнения у' = у2. Рисунок позволяет сразу представить себе, как должны выглядеть графики решения — так называемые интегральные кривые Д. у. Вычисление показывает, что общее решение данного уравнения есть