где f и g — произвольные функции. Т. о., Д. у. (16) лишь в той мере ограничивает произвол в выборе функции двух переменных u (х, у), что её удаётся выразить через две функции f (z) и g (v) от одного переменного, которые остаются [если в дополнение к уравнению (16) не дано каких-либо «начальных» или «краевых» условий] произвольными.

Типичной задачей с начальными условиями для системы Д. у. с частными производными 1-го порядка

где независимыми переменными являются t, x1,..., xn, а u1,..., um суть функция от этих независимых переменных, может служить задача Коши: по заданным при каком-либо t = t значениям

ui (t, x1,..., xn) = ji (x1,..., xn),

i = 1, 2, ..., m,

найти функции ui (t, x1, ..., xn).

В теории Д. у. с частными производными порядка выше первого и систем Д. у. с частными производными рассматриваются как задачи типа Коши, так и ряд краевых задач.

При постановке и решении краевых задач для Д. у. с частными производными порядка выше первого существенное значение имеет тип уравнения. В качестве примера можно привести классификацию Д. у. с частными производными 2-го порядка с одной неизвестной функцией z (х, у) от двух переменных:

F (x, у, z, р, q, r, s, t) = 0, (18)

где

Если

то (18) есть эллиптическое уравнение. Примером может служить уравнение Лапласа:

Если D < 0, то (18) есть гиперболическое уравнение. Примером может служить уравнение колебания струны:

Если D = 0, то (18) есть параболическое уравнение. Примером может служить уравнение распространения тепла:

О краевых задачах для этих различных типов уравнений см. Уравнения математической физики.

Лит.:ОбыкновенныеД. у. Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 5 изд., М., 1964; Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2 изд., М., 1965; Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 3 изд., М., 1965; Филиппов А. Ф., Сборник задач по дифференциальным уравнениям, 2 изд., М., 1965.

Д. у. с частными производными. Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966; Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1966; Смирнов М. М., Задачи по уравнениям математической физики, 5 изд., М., 1968.

По материалам одноимённой статьи из 2-го издания БСЭ.

Рис. 8 к ст. Дифференциальные уравнения.

Рис. 1 к ст. Дифференциальные уравнения.

Рис. 3 к ст. Дифференциальные уравнения.

Рис. 6 к ст. Дифференциальные уравнения.

Рис. 2 к ст. Дифференциальные уравнения.

Рис. 4 к ст. Дифференциальные уравнения.

Рис. 7 к ст. Дифференциальные уравнения.