Рис. 5 к ст. Дифференциальные уравнения.

«Дифференциа'льные уравне'ния», ежемесячный научный математический журнал, основан в 1965, издаётся в Минске. Публикует результаты исследований в области дифференциальных, интегро-дифференциальных и интегральных уравнений, а также уравнений в конечных разностях. Переводится в США на английский язык и издается под названием «Differential equations».

Дифференциа'льные уравне'ния с отклоня'ющимся аргуме'нтом, уравнения, связывающие аргумент, а также искомую функцию и её производные, взятые, вообще говоря, при различных значениях этого аргумента (в отличие от обычных дифференциальных уравнений). Примерами могут служить уравнения

x’'(t) = ax (t– t) (1)

и

x’'(t) = ax (kt), (2)

где постоянные а, t, k заданы; t = t– (t– t) в уравнении (1) и t– kt в уравнении (2) — отклонения аргумента. Такие уравнения появились в конце 18 в. Неоднократно рассматривались сами по себе и в связи с решением геометрических задач, а позднее — в связи с различными приложениями, прежде всего к теории регулирования. Построение систематической теории Д. у. с о. а. было начато в 50-х гг. 20 в., а уже с 60-х гг. эта теория представляет собой значительный отдел математического анализа.

Наиболее хорошо изучены линейные однородные автономные (т. е. с постоянными коэффициентами и постоянными отклонениями аргумента) Д. у. с о. а.; к таким уравнениям относится, например, (1). Здесь имеется достаточно полная система решений вида х = eрt, причём для отыскания р получается трансцендентное характеристическое уравнение вида Р (р) = 0, где Р (р) — сумма членов вида Apmеap, m ³ 0 — целое [например, для (1) имеем Р (р) o р– ае– tp]. Это уравнение имеет, вообще говоря, бесконечное число комплексных корней. Прочие решения рассматриваемого Д. у. с о. а. разлагаются в ряды по указанным простейшим решениям, и поэтому об основных свойствах совокупности решений, в частности об их устойчивости, можно судить по расположению нулей функции Р (р).

Важнейший и наиболее изученный класс Д. у. с о. а. образуют дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, в которых старшая производная от искомой функции при каком-либо значении аргумента определяется через саму эту функцию и её младшие производные, взятые при меньших либо равных значениях аргумента. Примеры: уравнение (1) при t ³ 0 (t—запаздывание); уравнение (2) при k lb 1 и t ³ 0. Эти уравнения и их системы, если аргументом служит время, описывают процессы с последействием, скорость которых в любой момент определяется их состоянием не только в тот же момент (как для обычных дифференциальных уравнении), но и в предшествующие моменты. Такая ситуация возникает, в частности, в системах автоматического управления при наличии запаздывания в органе управления. Уравнения с запаздывающим аргументом во многом напоминают обыкновенные дифференциальные уравнения, однако в ряде отношений отличаются от них. Например, если решение уравнения (1) строится при t ³ t , то в качестве начального условия х (t) должно быть задано при t– t lb t lb t; решение можно строить последовательно на интервалах t lb t lb t + t, t + t lb t + 2t, пользуясь на каждом шаге результатом вычислений с предыдущего шага. В линейном автономном случае к таким уравнениям можно применять методы операционного исчисления .

Лит.: Пинни Э., Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения, пер. с англ., М., 1961; Беллман Р., Кук К., Дифференциально-разностные уравнения, пер. с англ., М., 1967; Мышкис А. Д., Эльсгольц Л. Э., Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, «Успехи математических наук», 1967, т. 22, в. 2 (134) (библ.); Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б., Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, 2 изд., М., 1971.

А. Д. Мышкис.

Дифференциа'льный бино'м, биномиальный дифференциал, выражение вида

xm (а + bxn)pdx,

где а и b — постоянные, отличные от нуля, m, n и р — рациональные числа. Интеграл от Д. б.