Закон транзитивности в обычном языке можно передать так: когда верно, что если первое, то второе, и если второе, то третье, то верно также, что если первое, то третье. Например: «Если дело обстоит так, что с развитием медицины появляется больше возможностей защитить человека от болезней и с увеличением этих возможностей растёт средняя продолжительность его жизни, то верно, что с развитием медицины растёт средняя продолжительность жизни человека». Иначе говоря, если условием истинности первого является истинность второго и условием истинности второго — истинность третьего, то истинность последнего есть также условие истинности первого.

Символически данный закон представляется формулой:

((А → В) & (В → C) → (А → С),

если (если А, то В) и (если В, то C ), то (если А, то C ).

Законами ассоциативности называются логические законы, позволяющие по-разному группировать высказывания, соединяемые с помощью «и», «или» и др.

Операции сложения и умножения чисел в математике ассоциативны:

(а + в) + с = а + (в + с),

(а × в) × с = а × (в × с).

Ассоциативностью обладают также логическое сложение (дизъюнкция) и логическое умножение (конъюнкция). Символически соответствующие законы представляются так:

(A v B) v C ↔ A v (B v C),

(A & B) & C ↔ A & (B & C).

В силу законов ассоциативности в формулах, представляющих конъюнкцию более чем двух высказываний или их дизъюнкцию, можно опускать скобки.

Законами коммутативности называют логические законы, позволяющие менять местами высказывания, связанные «и», «или», «если и только если» и др. Эти законы аналогичны алгебраическим законам коммутативности для умножения, сложения и др.,

по которым результат умножения не зависит от порядка множителей, сложения — от порядка слагаемых и т.д.

Символически законы коммутативности для конъюнкции и дизъюнкции записываются так:

(А & В) ↔ (В & А),

А и В тогда и только тогда, когда В и А;

(A v В) ↔ (В v А),

А или В, если и только если В или A.

Данные эквивалентности можно проиллюстрировать примерами: «Волга — самая длинная река в Европе и Волга впадает в Каспийское море в том и только том случае, если Волга впадает в Каспийское море и Волга является самой длинной рекой в Европе»» «Завтра будет дождь или будет снег, если и только если завтра будет снег или завтра будет дождь».

Существуют важные различия между употреблением слов «и» и «или» в повседневном языке и языке логики. В обычном языке этими словами соединяются два высказывания, связанные по содержанию. Нередко обычное «и» употребляется при перечислении, а обычное «или» предполагает, что мы не знаем, какое именно из соединяемых им двух высказываний истинно. В логике значения «и» и «или» упрощаются и делаются более независимыми от временной последовательности, от психологических факторов и т.п. «И» и «или» в логике коммутативны. Но «и» обычного языка, как правило, коммутативным не является. Скажем, утверждение «Он сломал ногу и попал в больницу» очевидно не равносильно высказыванию «Он попал в больницу и сломал ногу».

Закон, носящий имя средневекового логика и философа, монаха Дунса Скотта, характеризует ложное высказывание. Смысл этого закона можно приблизительно передать так: из ложного утверждения вытекает какое угодно утверждение. Это звучит парадоксально: из того, что дважды два равно пяти, вовсе не вытекает, как кажется, что Луна сделана из зеленого сыра. Не все современные описания логического следования принимают эту его характеристику.

Известен анекдот об английском философе и логике Б.Расселе, доказавшем своему собеседнику на каком-то вечере, что из того, что два плюс два равно пяти, вытекает, что он, Рассел — римский папа. В доказательстве использовался закон Дунса Скотта.

Отнимем от обеих сторон равенства 2 + 2 = 5 по 3. Получим: 1 = 2. Если собеседник утверждает, что Рассел не является римским папой, то этот папа и Рассел — два разных лица. Но поскольку 1 = 2, папа и Рассел — это одно и то же лицо.

Приведённые формулировки законов логики и примеров к этим законам являются довольно неуклюжими словесными конструкциями и звучат непривычно, даже если речь идёт о самых простых по своей структуре законах. Естественный язык, использовавшийся в этих формулировках, явно не лучшее средство для данной цели. И дело даже не столько в громоздкости получаемых выражений, сколько в отсутствии ясности и точности в передаче законов.