Однако всякое открытие, как мы уже знаем, неизбежно влечет за собой новые вопросы. Не составляет исключения и то, о котором идет речь. Возникает, например, такой вопрос: существуют ли бесконечные множества более «мощные», чем счетное? Вот отрезок прямой линии. Сколько на нем помещается точек? Ясно, что их бесчисленное множество. Но сколько именно?

Прибегнем еще раз к помощи нашего эталона – счетного множества. И в конце концов обнаружим, что на этот раз чисел в натуральном ряду слишком мало для того, чтобы пронумеровать все точки выбранного нами отрезка. В математике на этот счет доказывается строгая теорема: сколько бы точек отрезка мы ни пронумеровали, всегда будут оставаться точки, для которых не хватит чисел натурального ряда. Таким образом, мы обнаружили бесконечность более высокого порядка, чем счетное множество – бесконечность, получившую название континуума. Но и континуум не предел. В принципе можно строить бесконечности сколь угодно высокого ранга.

Однако не будем углубляться дальше в необычный, хитроумный и парадоксальный мир математических бесконечностей. Главное – мы знаем: бесконечности бывают разные…

Вернемся к вопросу о геометрических свойствах Вселенной. Возможно, вы обратили внимание на то, что при обсуждении этой проблемы упоминается то возможная бесконечность мирового пространства, то его неограниченность. В «обычном» мире, для которого справедлива геометрия Евклида, та самая геометрия, которую мы изучаем в школе, эти понятия по сути дела равнозначны, обозначают одно и то же. Хотя некоторые различия все же есть. Строго говоря, бесконечность – это свойство количественное, «метрическое»: бесконечность длины, площади, объема. А неограниченность?..

«Что мы хотим выразить, говоря, что наше пространство бесконечно? – писал Эйнштейн, обладавший счастливым умением выражать самые отвлеченные идеи с помощью наглядных образов. – Ничего другого, как то, что мы можем прикладывать одно к другому равные тела, скажем, кубики в каком угодно числе, и при этом никогда не наполним пространство. Такое построение никогда не закончится. Всегда останется место, чтобы прибавить еще один кубик…»

Вот что такое бесконечное пространство. Что же касается неограниченности, – то это свойство структурное, как говорят математики, топологическое. Это обстоятельство особо подчеркивал в свое время выдающийся математик Бернгард Риман.

«При рассмотрении пространственных построений в направлении бесконечно большого, – отмечал он, – следует различать свойства неограниченности и бесконечности: первое из них есть свойство протяженности, второе – метрическое свойство».

В евклидовом пространстве любая прямая, продолженная неограниченно, является бесконечной. Но ведь мы живем в искривленном мире… В таком мире бесконечность и неограниченность различаются еще более существенным образом. Вплоть, до того – еще один неожиданный парадокс, – что неограниченное пространство может быть как бесконечным, то есть не имеющим границы, «края», так и конечным!

Чтобы несколько смягчить этот очередной удар по здравому смыслу, воспользуемся аналогией. Аналогии в науке не являются строгими доказательствами, но они позволяют лучше разобраться в сущности тех или иных сложных явлений.

Представьте себе обычный шар конечного радиуса. Шаровая поверхность – это двумерное образование, искривленное в трехмерном пространстве. Представьте себе некое фантастическое плоское существо, обитающее на этой поверхности и даже не подозревающее, что существует еще какое-то третье измерение. Путешествуя по своему искривленному миру в любых направлениях, существо это нигде не наткнется на какую-либо границу. И в этом смысле поверхность шара есть неограниченное пространство. Но поскольку радиус нашего шара конечен, то и площадь его поверхности также имеет конечную величину. Таким образом, неограниченный и в то же время конечный мир предстал перед нами во всей своей реальности. Оказалось возможным то, что на первый взгляд представлялось абсолютно неосуществимым.

Следующий шаг потребует от нас еще большей силы воображения. Речь пойдет о трехмерном шаре, который находится в четырехмерном пространстве… К сожалению, наглядно представить себе подобную ситуацию нам – существам трехмерного мира – не менее трудно, чем воображаемому обитателю шаровой поверхности представить себе двумерную сферу, изогнутую в трехмерном пространстве.

Но в теории относительности наш мир выглядит именно таким: он искривлен в четырехмерном пространстве, где, впрочем, роль четвертого измерения играет время. По Эйнштейну, мы живем в четырехмерном «пространстве-времени». При этом великий физик считал, что наш искривленный мир обладает конечным объемом, он как бы замкнут в самом себе.

История изучения геометрических свойств Вселенной совершила еще один крутой поворот. От классических ньютоновских представлений о бесконечном и безграничном пространстве пришлось отказаться. Они сыграли свою роль, но мир оказался сложнее.

Так был осуществлен очередной, чрезвычайно важный шаг в понимании сокровенных свойств нашего мира. Впрочем, математическая, точнее, геометрическая, модель нашей Вселенной, построенная общей теорией относительности, сама по себе еще не могла считаться доказательством конечности реального пространства. Но сам Эйнштейн считал такой вариант наиболее разумным.

Однако и это еще не был конец пути. До него было еще очень и очень далеко. Новый уровень, на который вышло изучение геометрических свойств нашего мира, породил целый ряд вопросов, на которые и сегодня пока не найдены ответы.

Немного более ста лет назад, когда наивысшего расцвета достигла «классическая наука», в основе которой лежали механические представления о природе, ученые непоколебимо верили в то, что все события и явления можно разложить на чисто механические составляющие и все происходящее и предстоящее абсолютно точно рассчитать и предусмотреть.