С другой стороны, новые открытия, изучение функций, к которым привело интегральное исчисление, особенно же эллиптических функций, открыло в анализе область, дотоле не исследованную, где чистое умозрение пожало обильнейшие жатвы и получило возможность быть приложенным при помощи истинно научных методов к задачам физики, разрешившимся в предшествующем веке путем гипотез, обыкновенно недостаточно широких и в силу этого сомнительных. Истинные начала приложения математики к физике зарождаются, таким образом, лишь в XIX веке; то, что выработали предыдущие века, больше всего пригодилось астрономии.

Эту эволюцию новой математики мы попытаемся изобразить лишь в общих чертах; нижеследующий сжатый очерк даст, надеемся, возможность оценить важность той части развития математики, которая относится к периоду с 1815 по 1847 год.

Современная геометрия: Понселе, Шаль, Мебиус, Штейнер. Монж основал во Франции блестящую школу геометров [56] , по большей части находивших применение своим познаниям на военной или гражданской службе; один из них, Понселе (1788–1867), офицер инженерных войск, взятый в плен под Красным и живший в Саратове в продолжение 15 месяцев, составил там без помощи какой бы то ни было книги заметки [57] , из которых составилось капитальное сочинение под названием Трактат о проективных свойствах фигур (т. е. свойствах, не изменяющихся от проектирования). С другой стороны, Пон-селе развил теорию взаимной полярности и вывел из нее закон двойственности. Но его работы, посланные в Академию наук в 1824 году, не встретили того приема, какого он ожидал; Коши в своих докладах ставил новую геометрию ниже анализа [58] , и Понселе, надолго сохранивший об этой сравнительно маленькой неудаче неприятное воспоминание, отдался почти исключительно изучению практической механики [59] .

Зато Брюссельская академия [60] открыла двери этой науке, добившейся здесь полного торжества. Две записки Мишеля Шаля (1793–1880), представленные в декабре 1829 года и весьма полно обработанные для напечатания, закончились знаменитым Историческим очерком (Apergu historiqueJ, за которым последовала Записка о двух общих принципах науки — двойственности и гомографии (Memoire sur deux principes generaux de la science, la dualite et la homographie, 1837), имевшая громадный успех. Шаль, который по окончании Политехнической школы в 1814 году в течение 10 лет состоял биржевым маклером, с 1828 года всецело отдался науке и выдвинулся многочисленными статьями, напечатанными в Journal de YEcole poly technique, в Annales mathematiques Жергона [61] и в Correspondance Кетле. В 1841 году он получил кафедру геодезии и теории машин в Политехнической школе, в 1846— кафедру геометрии в Сорбонне, но ему суждено было войти в Академию только в 1851 году. Его карьера этим далеко не закончилась, и он был одним из немногих математиков, до самой старости сохранивших гениальную способность к открытиям.

Между тем Германия, где математические традиции свили себе не такое прочное гнездо, как во Франции, с жаром устремилась на новый путь.

Пруссак Мебиус (1790–1868), ученик Гаусса, с 1815 года профессор в Лейпциге, в 1827 году обнародовал свое Барицентрическое исчисление (Бег barycentrische CalculJ и напечатал множество трудов в Журнале Крелле (Journal fur die reine und angewandte Mathematik), основанном в Берлине в 1826 году. Главной заслугой Мебиуса является исследование новых логарифмов, усовершенствование системы обозначений, употребляемых для упрощения геометрических рассуждений и вычислений. Он же первый предложил ввести в употребление новые системы координат.

Якоб Штейнер (1786–1863), родившийся в Бернском кантоне, поселившийся в Берлине и подружившийся с Крелле, издал в 1832 году свое Систематическое развитие зависимых геометрических образов друг от друга (Systematische Ent-wicklung der Abhdngigkeit geometrischer Gestalten voneinander), которое вместе с Геометрией положения Штаудта (1847) [62] составляет основу синтетической геометрии в ее нынешней форме. В 1834 году для Штейнера в Берлине создали новую кафедру, которой он стяжал громкую славу. Открытия Штейнера относительно свойств кривых и поверхностей высших порядков так быстро следовали одно за другим, что он нередко помещал их без доказательств в Журнале Крелле, где они долгое время составляли проблемы для исследователей. Штейнер словно ненавидел анализ и старался привести его в такое состояние, чтобы развитие его мыслей нельзя было проследить. В некоторых случаях, по признанию Гессе, ему это удавалось. Имя Штейнера по справедливости связывается с двадцатью семью прямыми и характеристическим пентаэдром, принадлежащим к поверхностям третьего порядка.

Heэвклидовы системы: Лобачевский, Болиай. На арену научной мысли вступают славяне и венгры, дебют которых отмечен необычайной смелостью.

Как известно, Эвклид принимал без доказательств то, что в плоскости через точку можно провести только одну прямую, которая, сколько бы ее ни продолжали, не встретит другой данной прямой. Этот постулат, еще в древности бывший объектом многочисленных попыток доказательства, так и остался камнем преткновения. Но очень немногим геометрам приходила в голову мысль попробовать вывести следствия из противоположной гипотезы, по которой через данную точку можно провести, не встречая данной прямой, бесконечное множество прямых, заключенных в угле, величина которого зависела бы (по особому закону, который надлежит определить) от расстояния точки от данной прямой [63] .

Лобачевский (1793–1856), казанский профессор, изложил в 1829 году свои взгляды в очерке, а в 1836–1838 годах обнародовал свои Новые начала в геометрии с полной теорией параллельных, где он развил в ясной и точной форме гипотезу, обратную эвклидову постулату. Его сочинения, написанные по-русски, долго оставались неизвестны за границей, и краткое резюме его Воображаемой геометрии, которое он напечатал в Берлине в 1840 году, также прошло незамеченным.

Трансильванец Вольфганг Болиай (1775–1856) учился в Германии и был соучеником Гаусса. Занимая кафедру в Марош-Ва-шаргели в течение 47 лет, он составил себе репутацию сколь оригинального, столь же и скромного ученого. Главное его сочинение Tentamen (1832–1833) снабжено прибавлением в 26 страниц, озаглавленным Абсолютная наука о пространстве и принадлежащим его сыну Иоганну Болиай (1802–1860). В этом-то прибавлении и содержатся в сжатом виде ввшоды, вытекающие из отказа от эвклидовой гипотезы, развитой до своих аналитических следствий, из коих ясно видна невозможность найти какое-нибудь противоречие в результате этого отказа.

Из этих работ вытекало не только то, что постулат Эвклида недоказуем, но что он даже имеет характер гипотезы, а не необходимой a priori истины. Этому выводу большой философской важности предстояло позже быть распространенным на аксиомы, составляющие отправную точку геометрии, а вследствие этого глубоко изменить воззрения математиков на роль их науки.

Аналитическая геометрия: Плюкер, Гессе. Чтобы удержаться на высоте, достигнутой синтетической геометрией, необходимо было преобразовать, в свою очередь, и аналитическую геометрию. Наибольшее влияние в этом смысле оказал на последнюю Юлиус Плюкер (1801–1868), родившийся в Эль-берфельде. Состоя до 1846 года профессором физики в Бонне, он тем не менее занимался и чистой математикой. В 1828 и 1831 годах он издает свои два тома Аналитико-геометричесшх исследований (Analytisch-geometrische EntwiMungen), где впервые излагается система однородных координат (по существу тождественная с системой Мебиуса); в 1834 году Плюкер издает свою Систему аналитической геометрии, заключающую в себе полную классификацию кривых третьего порядка; в 1839 году — свою Теорию алгебраических кривых (Theorie der algebraischen Kurven), в которой перечисляются кривые четвертого порядка и даны аналитические соотношения, связывающие особые точки плоских кривых. «ЭтиуравненияПлю-кера, — говорит Кэйли, — бесспорно составляют важнейшее открытие во всей современной геометрии». Но если труды Плю-кера были оценены по достоинству в Англии и Франции, то этого нельзя сказать про Германию, где он не удостоился благосклонности берлинских ученых. Штейнер даже заявил, что перестанет сотрудничать в Журнале Крелле, если там будут продолжать печатать труды Плюкера. Вдобавок, как профессора физики, его упрекали в том, что он пренебрегает своей наукой. Копчилось тем, что Плюкер оставил свои занятия по аналитической геометрии и в течение 15 лет с лишним работал в области математической физики, которую сильно двинул вперед. Позже он с блестящим успехом продолжал свои любимые исследования.