Шрифт:
Подсказка: первый сумасшедший художник покрасил клетки только в первых 2 строках.
Ответ
К сожалению, план сумасшедших художников обречен на провал: например, если в первой строке первые 99 клеток покрашены в 99 различных цветов, а последняя клетка второй строки покрашена в сотый цвет.
Хоккейный матч
Условие
Хоккейный матч между командами «Дружба» и «Мир» закончился со счетом 8 : 5.
Докажите, что в матче был такой момент, когда «Дружбе» оставалось забить столько голов, сколько «Мир» уже забил к этому времени.
Подсказка: учтите, что в начале игры счет был 0 : 0, а закончилась игра со счетом 8 : 5.
Ответ
Матч начался с суммарного счета 0, а потом изменялся на единицу и окончательный суммарный счет стал равен 13. Из этого можно сделать вывод, что в матче был такой момент, когда было забито 8 голов.
Пусть n голов забил «Мир», тогда 8-n голов забила «Дружба», что и требовалось доказать.
Шахматные фигуры
Условие
Можно ли расположить шахматные фигуры в клетках доски размером 8 ? 8 (в каждой
клетке не более 1 фигуры) так, чтобы в любых 2 столбцах фигур было поровну, а в любых 2 строках – разное количество?
Подсказка: разделите строки по парам, в первой строке каждой пары пусть находится n фигур, а во второй – 8-n.
Ответ
Разобьем строки на 4 пары. В каждой паре строк поставим 8 шахматных фигур: n фигур (n – номер пары строк) – в первой строке данной пары и 8-n фигур – во второй строке пары. Причем расположим их в тех столбцах, в которых не стоит фигура из первой строки данной пары.
В результате в каждом столбце доски 8 ? 8 будет стоять по 4 фигуры (по одной в каждой паре строк), а в 8 строках – 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8 фигур. Таким образом, условие задачи выполняется.
Вредный старик
Условие
При посадке в автобус выстроилась очередь из n пассажиров, у каждого из которых имелся билет на одно из m мест. Первым в очереди стоял вредный старик, который, как только водитель открыл дверь, вбежал в салон и сел на случайное место (возможно, и на свое).
После этого пассажиры по очереди заняли свои места. При этом, если место кого-нибудь из пассажиров занято, он садится случайным образом на одно из свободных мест.
Какова вероятность того, что последний пассажир займет свое место?
Подсказка: представьте, что последний пассажир сел на свое место. Тогда в тот момент, когда один из пассажиров занимал место последнего, он мог занять и место вредного старика.
Ответ
Представим, что при определенном стечении обстоятельств последний пассажир сел не на свое место (такой случай назовем неудачным).
Тогда до прихода последнего пассажира его место было занято пассажиром S (S может быть и вредным стариком).
У пассажира S был выбор какое место занять. В рассматриваемом случае он занял место последнего пассажира. Но с этой же вероятностью он мог занять и место вредного старика, тогда в дальнейшем все пассажиры, включая и последнего, займут свои собственные места.
Получается, что каждому неудачному случаю соответствует удачный, который может произойти с той же вероятностью.
Это говорит о том, что в половине случаев распределение пассажиров по местам будет неудачным.
Упорядоченные тройки
Условие
Можно ли из любых 5 чисел, написанных в ряд, выбрать три, идущих в порядке убывания или в порядке возрастания?
Ответ
Предположим, что n и s – наибольшее и наименьшее из написанных чисел. Если между ними есть какое-либо число, то утверждение верно.
Если они располагаются рядом, то либо справа, либо слева от них есть еще 2 числа. Именно они и образуют нужную тройку чисел либо с числом n, либо с числом s.
Упорядоченные четверки