Этот постулат причинил математикам много хлопот на протяжении почти всей истории математики, вплоть до революционного открытия Лобачевским неевклидовой геометрии. Многим математикам после Евклида казалось, что постулат не содержит в себе той очевидности и необходимости, которая свойственна его остальным утверждениям. Создалось убеждение, что данный постулат является не аксиомой, а теоремой, и были предприняты многочисленные попытки доказать пятый постулат как геометрическую теорему, т.е. вывести его из других аксиом, а тем самым показать, что аксиоматика Евклида нарушает, выражаясь языком современной логики, требование о независимости аксиом.

Так, византийскому геометру Проклу (V в. н. э.), комментарии которого сопровождали один из наиболее древних текстов «Начал», принадлежит следующее рассуждение о «пятом постулате»: «Это положение должно быть совершенно изъято из числа постулатов, потому что это – теорема, вызывающая много сомнений, которые Птолемей пытался устранить в одной из своих книг, и сам Евклид дает обращение этого положения в качестве теоремы.

Совершенно ясно, что должно быть найдено доказательство настоящей теоремы, а такое требование природе постулатов совершенно чуждо. Каким образом это предложение может быть доказано – это мы увидим ниже, придя к нему, когда элементы геометрии нас этому научат, ибо необходимо обнаружить его справедливость, но не как нечто, представляющееся нам очевидным без доказательства, а как предложение, становящееся таковым благодаря доказательству» [134] .

Помимо доказательства Прокла, которое мы здесь приводить не будем, существовали и многие другие «доказательства» V постулата. Общей их чертой было то, что все они основывались на явном или неявном введении новой аксиомы, эквивалентной аксиоме о параллельных. Многим математикам, работавшим в этой области, уже казалось, что идеал геометрии, как строгой науки, достигнут, что удалось очистить Евклида «от всех пятен». (Итальянский геометр Саккери, которому принадлежат известные заслуги в деле подготовки неевклидовой геометрии, назвал свой труд: «Евклид, очищенный от всех пятен».)

«Доказательства постулата Евклида, – писал в 1763 г. немецкий математик и философ Ламберт, – могут быть доведены столь далеко, что остается, по-видимому, одна мелочь. Но при тщательном анализе оказывается, что в этой кажущейся мелочи и заключается вся суть вопроса; обыкновенно она содержит либо доказываемое предложение, либо равносильный ему постулат» [135] .

Атмосфера, которая создалась вокруг вопроса о пятом постулате, хорошо выражена в письме венгерского математика Вольфганга Больяя своему сыну Иоганну, будущему создателю (независимо от Лобачевского, но несколько позднее его) неевклидовой геометрии: «Молю тебя, не делай только и ты попыток одолеть теорию о параллельных линиях; ты затратишь на нее все свое время, а предложения этого вы не докажете все вместе... Этот беспросветный мрак может потопить тысячи ньютоновских башен. Он никогда не прояснится на земле, и никогда несчастный род человеческий не будет владеть на земле чем-либо совершенным даже в геометрии. Это большая и вечная рана в моей душе» [136] .

И тем не менее этот «беспросветный мрак» был очень скоро рассеян трудами Н.И. Лобачевского и Я. Больяя [137] . Lumen ex orient, свет, как говорится, пришел с востока.

«Напрасное старание со времен Евклида, – пишет Н.И. Лобачевский, – в продолжение двух тысяч лет заставило меня подозревать, что в самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты» [138] .

Лобачевский не только отказался от доказательства аксиомы о параллельных, но и построил геометрию, в аксиоматике которой содержится предложение, содержащее ее прямое отрицание: «Принимаем только то предложение справедливым, что перпендикуляр на линии параллельной встречает другую под острым углом» [139] .

Это предложение эквивалентно следующим трем: 1) через точку, находящуюся вне прямой, можно провести не одну, а по крайней мере две прямых, параллельных данной; 2) параллельные прямые пересекаются в некоторой точке; 3) сумма углов прямоугольного треугольника не есть величина постоянная (т.е. не равна 2 d).

С точки зрения привычного (физического) пространственного опыта все эти предложения не только не представляются очевидными, но и прямо чудовищными. Тем не менее, основываясь на этой аксиоме, Лобачевский построил математически безупречную систему – неевклидову геометрию.

При допущении неевклидовой аксиомы (аксиомы Лобачевского, сводящейся к утверждению, что угол параллелизма острый, или аксиомы Римана: угол параллелизма тупой) геометрия может быть построена вполне логично и непротиворечиво. Все геометрические теоремы оказываются выполнимыми и связь математических понятий безупречной. Математически истинность неевклидовой геометрии тем самым оказывается вне всяких сомнений, тогда как ее истинность с точки зрения нашего обычного физического опыта представляется весьма и весьма проблематичной. Физический смысл неевклидовой геометрии выяснился значительно позднее, в связи с разработкой сначала специальной (1905 г.), а затем и общей теории относительности (1916 г.).

Допущение, что сумма углов прямолинейного треугольника есть величина постоянная, утверждал Н.И. Лобачевский, «не представляет необходимого следствия из наших понятий о пространстве». «Только опыт, – продолжает Лобачевский, – например, фактическое измерение трех углов прямолинейного треугольника, может подтвердить истинность этого допущения». Аналогично говорит и Риман: те особые свойства, которыми Евклидово пространство отличается от других мыслимых трехмерно протяженных многообразий, «могут быть заимствованы только из опыта».