В проективной геометрии, например, рассматриваются не отдельные фигуры, но их закономерная и непрерывная связь, позволяющая рассматривать свойства одной фигуры как проективное преобразование другой, т.е. логическую зависимость определения одной фигуры через тождественное преобразование определенности другой. (Условия этого тождественного преобразования формулируются в аксиоматике: при проективных преобразованиях остаются тождественными отношения инцидентности точки и прямой, касания прямой и какой-либо линии, ангармоническое отношение четырех точек или четырех прямых и т.п., но существенно искажаются соотношения метрические; при конформных преобразованиях остаются инвариантными углы между любыми линиями; в топологии рассматриваются свойства, остающиеся инвариантными при всех изменениях фигуры, за исключением тех, которые приводят к ее «разрыву» или «растяжению».)

В целях сохранения непрерывности связи и выводимости одних фигур из других Понселе вводит в проективную геометрию широко применяемый в современной математике метод «идеальных элементов», например «бесконечно удаленной точки», которая с точки зрения созерцания совершенно бессмысленна. Тем не менее, как элемент связи преобразования такое понятие является истинным.

В проективной геометрии отдельная фигура рассматривается не сама по себе, но лишь как элемент, основные соотношения определенности которого строго фиксированы и из которого путем известных преобразований этих соотношений мы можем получить все многообразие других геометрических фигур как модификацию или трансформацию исходной определенности, а именно как непрерывное преобразование элементов, в которых выражается ее положение. Изменение этих элементов дает нам ряд пространственных образов, индивидуально различных и в то же время генетически связанных. Известные же соотношения которые были указаны выше, остаются инвариантными для всей системы в целом. Они-то и являются критерием проективного преобразования.

Инварианты непрерывного преобразования являются свойством не отдельной фигуры, а именно систематически рассматриваемой их совокупности. Ряд метаморфоз, которые претерпевает фигура при ее проективных преобразованиях, приводит в конце концов к такому образу, в котором трудно или совершенно невозможно усмотреть первоначальный образ, и тем не менее фигура, элементы которой установлены в аксиоматике, остается в своей определенности тождественной самой себе. Это и дает возможность за индивидуальной формой данной фигуры рассмотреть ее геометрическую сущность.

Математический генезис превращенной формы, разумеется, будет иметь только тот специфически логический смысл, о котором говорилось выше. Если некоторую фигуру, имеющую форму эллипса, мы рассматриваем как результат проективного преобразования круга, то это вовсе не значит, что в своем реальном генезисе объекты, имеющие форму эллипса, возникают из вида, имеющего форму круга.

Принцип анализа взаимных отношений геометрических объектов развивается и далее, и уже не только применительно к отдельным геометрическим фигурам в рамках той или иной (Евклидовой или неевклидовой) геометрии, но и применительно к самим отдельным геометриям и позволяет решать не только вопрос о свойствах отдельной геометрической фигуры, скажем, в Евклидовом пространстве, но и о месте самого Евклидова пространства в некотором обобщенном пространстве, например в геометрии Клейна или Римана.

Здесь становится совершенно ясным различие между геометрией как математикой и геометрией как физикой. В самом деле, если мы рассматриваем геометрию Евклида или Лобачевского как частные случаи геометрии Римана и если мы придаем их понятиям некоторый абсолютный физический смысл, например, трехмерности этих пространств, то говорить о месте трехмерного пространства в бесконечномерном пространстве Римана физически бессмысленно, хотя математически это имеет определенный и глубокий смысл. Трехмерное пространство не существует «в» бесконечномерном; относительно любого физического объекта мы можем сказать, что он существует только в трехмерном или, в крайнем случае, четырехмерном «пространстве-времени» Эйнштейна – Минковского, но никак не в бесконечномерном. О математическом же смысле такого существования стоит говорить.

Создание геометрии групп преобразований Клейна и геометрии Римана позволило обобщить не только свойства отдельных фигур в рамках той или иной геометрии или того или иного пространства, но сами геометрии и сами пространства в рамках более абстрактных математических пространств. При этом все более и более выяснялся математический характер геометрических понятий. Становилось все более явным, что геометрия изучает не те или иные субстанциальные пространственные формы, но отношения, подобные пространственным, независимо от абсолютного содержания компонентов этого отношения. Так, например, в современной геометрии рассматривается не только пространство точек и линий, но и «пространство» цветов, «фазовое пространство» какой-либо механической системы, функциональные пространства как совокупности объектов, каждый из которых не может быть задан конечным числом данных, т.е. бесконечномерные пространства.

«Под “пространством” в математике понимают вообще любую совокупность однородных объектов (явлений, состояний, функций, фигур, значений переменных и т.п.), между которыми имеются отношения, подобные обычным пространственным отношениям (непрерывность, расстояние и т.п.). При этом, рассматривая данную совокупность объектов как пространство, отвлекаются от всех свойств этих объектов, кроме тех, которые определяются этими принятыми во внимание пространственно подобными отношениями. Эти отношения определяют то, что можно назвать строением или «геометрией» пространства. Сами объекты играют роль «точек» такого пространства; «фигуры» – это множество его «точек». Предмет геометрии данного пространства составляют те свойства пространства и фигур в нем, которые определяются принятыми в расчет пространственно подобными отношениями. Так, например, при рассмотрении пространства непрерывных функций вовсе не занимаются свойствами отдельных функций самих по себе. Функция играет здесь роль точки, и, стало быть, «не имеет частей», не имеет в этом смысле никакого строения, никаких свойств вне связи с другими точками; точнее, от всего этого отвлекаются. В функциональном пространстве свойства функций определяют только через их отношения друг к другу – через расстояния и через другие отношения, которые можно вывести из расстояния» [143] .

Для того чтобы раскрыть закономерности, внутренние для пространственных свойств объектов, необходимо подвергнуть анализу данное свойство, выделить в нем его абстрактные аналитические компоненты и установить зависимость между ними, восстанавливающую целостный образ данного свойства.

Такими внутренними для геометрических свойств компонентами являются точки, прямые, плоскости. Отношения, связывающие эти геометрические объекты внутренним для исследуемого свойства способом, суть отношения инцидентности, порядка, конгруэнтности, параллельности, непрерывности. «Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками...;вещи второй системы называем прямыми; вещи третьей системы мы называем плоскостями...; точки называются также элементами линейной геометрии, точки и прямые – элементами плоской геометрии, или элементами пространства [144] .