Математика – это наука, исследующая условия, при которых оперирование простейшим количественным объектом – эталоном – воспроизводит количественные свойства измеряемой вещи. Иными словами, это наука, исследующая условия, при которых может быть построен в деятельности с материальным количественным предметом предметный образ пространственных форм и количественных отношений мира.

Строение математической реальности есть отражение строения предметной деятельности освоения количественной стороны мира, а не только самой этой количественной стороны. Этапы математического анализа и его элементы, процессуальность математического познания есть теоретическое выражение этапов, элементов и процесса этой деятельности. Определение количественного значения сложного пространственного образа (скажем, объема) через количественное значение его элемента является осмысленным, не тавтологичным лишь при условии проекции этой логической операции на этапы деятельности измерения.

Изменение радиуса, конечно, не вызывает изменения площади круга, поскольку эти определенности тождественны. Но если под радиусом понимать его количественное значение, его внешний, отделимый и содержательно безразличный по отношению к нему количественный образ, то получение такого же количественного образа круга действительно находится в прямой зависимости от его радиуса, ибо здесь имеется в виду действительное преобразование, действительный процесс, независимый от самого пространственного образа и осуществляемый вне него.

В геометрических преобразованиях мы действительно практически получаем одну величину из другой. Если же оставить в стороне эту деятельность, то мы никогда не могли бы получить ни одной пространственной формы из другой (из таких элементов, как точки, прямые и плоскости).

Геометрия, таким образом, рассматривает не строение пространственной формы тел, не строение пространственного мира, но строение пространственного мира в его инобытии, в его бытии в другом, в эквиваленте. А это инобытие имеет место только в деятельности.

Пространственные формы и количественные отношения вещей объективного мира познаются не только математикой, но всей совокупной человеческой практикой и теорией с помощью математики. Математика определяет круг условий, при которых осуществима деятельность освоения количественной стороны мира, она есть сумма способов выражения количественной определенности объектов. Объект дан математике не в созерцании, но в деятельности, в созерцании, совершающемся через призму деятельности и под углом зрения ее задач.

Все это позволяет сделать вывод, что количество в математическом смысле и количество как категория предметного мира – вещи существенно различные. Количественность как определенность самого предметного мира есть свойство самого этого мира, неотделимое от него. Количественность в математическом смысле есть определенность предметного мира в ее инобытии в процессе деятельности. Понятно поэтому, что геометрия не есть пространственная типология, так как она не занимается собственно теоретическим обобщением пространственных свойств вещей, но есть абстрактная типология деятельности освоения этих пространственных свойств.

Проблема обобщения в математике выглядит несколько иначе, чем в других науках. Математическое выражение необходимо является обобщенным, так как этот образ есть так или иначе символ, снявший свою специфическую определенность в деятельности, практически выступающий в ней как предмет, собственная природа которого, а стало быть природа тел, выражаемых в нем, для существа дела безразлична. Он универсален. Но не потому, что скопирован с универсума, а потому, что лишен собственной специфичности.

Реальное пространство может быть описано различными методами, различными способами – различными геометриями. Значит ли это, что каждой геометрии свойственно «свое», особое пространство? Отнюдь нет. Пространство едино, и его строение описывается физикой. Одно пространство не содержится в другом, как одна геометрия в другой. Различным типам геометрии соответствуют не различные пространства, а различные типы деятельности, способы освоения пространства. Применимость этих способов решается физикой. Что же касается самой геометрии, то для нее достаточно показать, что сложные пространственные образы можно представить как продукт преобразования элементарной измеримой определенности. Мы и исследуем поэтому в геометрии, собственно, не Евклидово или Риманово пространство, а Евклидовы или Римановы условия освоения в деятельности и постижения в теории физического пространства, которое столь же Евклидово, сколь и Риманово.

Итак, своеобразный дедуктивный метод математики вовсе не является платой за ее особую приверженность к формальной логике. Наоборот, формальная логика есть выражение своеобразной природы содержательной деятельности, есть логика этой формализующей деятельности с содержанием, логика предметного действия измерения, состоящего в тождественном преобразовании некоторой предметно фиксированной в эталоне элементарной определенности во всякую другую, логика предметного действия освоения количественной стороны мира.