Математика исследует именно форму как таковую, в ее полной отделенности, отрешенности от содержания. Такое отделение невозможно даже в воображении, даже в абстракции. В этом смысле математика вообще не является естественной наукой. А ведь ее обоснование часто хотят искать в физике предметного мира. Но физика вопиет против приемов математики, физика соглашается с количественным измерением тел, но не с бестелесной размерностью.

Существует лишь одна область действительности, где пространственная форма тел, их количественная определенность практически существует сама по себе – это практическая деятельность человека по освоению количественной стороны мира. Именно в этой деятельности и заключена тайна парадоксов математики.

Абстрактность математических объектов в действительности опирается на практическую отделимость и отделенность количественной стороны вещи от самой вещи и на ее самостоятельное предметное существование в этой отделенности. Предмет геометрии составляет пространственная форма вещи, рассматриваемая как существующая вне самой вещи, практически, предметно, а не в воображении. Предмет математики есть «практически истинная абстракция».

Анализ этой специфической предметной области, резюмируя все вышесказанное, диктуется следующими соображениями.

1. Если математика есть наука о пространственных формах и количественных отношениях объективного мира, рассматриваемых как ее непосредственный предмет, то в числе ее исходных положений мы должны иметь положения типа: «существуют следующие пространственные типы объектов...». Математика, однако, не содержит в себе описаний подобного рода. Какой бы абстрактной она ни была, она не есть пространственная типология. Существование пространственных объектов в математике необходимо предполагается, но она не состоит в их описании и обобщении.

2. Геометрия не только не содержит в себе описания пространственных форм реальности, но и не занимается их теоретическим объяснением. Она не показывает, как и при каких условиях возникают и эволюционируют те или иные пространственные формы в реальности, чем обусловлена та или иная пространственная конфигурация тела, та или иная геометрия пространства (как это делает, например, физика в общей теории относительности).

3. Рассматриваемые в математике рациональные зависимости имеют совершенно специфический характер. При попытке, их эмпирического истолкования они обращаются либо в тавтологию, либо в явно бессмысленные предложения (зависимость площади круга от его радиуса, выражение площади плоскости через размерность линейного элемента).

4. Математика не начинает с наблюдения единичных объектов и не кончает фиксированием их свойств и в обобщенном образе, в абстракции, отбрасывая содержание вещей и процессов. Математика прямо начинает с абстракций так, как если бы они были ее объектами.

5. Математика неотделима от созерцания, но в ней созерцаются абстрактные образы так, как если бы они имели реальное предметное существование. Предметные связи, фиксируемые в этом созерцании, имеют совершенно своеобразный – не эмпирический, а рационально-наглядный смысл.

6. Дискретность математического объекта не оправдывается соответствующей дискретностью физического, природного объекта. Ни атом, ни элементарная частица, ни пучок света не могут быть рассмотрены в качестве прообраза геометрической точки и прямой. Никакой предметный анализ не может дать нам элемент, имеющий лишь одно измерение.

7. Развертывание содержания математической теории не представляет собой аналога какого-либо соответствующего объективного процесса эволюции предмета. Математическая теория есть аналог иных процессов, существо которых будет рассмотрено ниже.

8. Количественная определенность вещи и математическое выражение этой количественной определенности – понятия различные.

Вообще исследование формы вещей и процессов в отвлечении от их естественного субстрата и рассмотрение этой формы в качестве предмета науки должно основываться на безразличии формы к содержанию как реальном факте. В противном случае математика есть либо наука о нематериальных, бестелесных, бесплотных объектах, либо она вообще беспредметна и изучает самое себя в ходе своего произвольного конструирования. Эта независимость составляет основное положение, фундамент математики. Вместе с тем она не осуществляется в природе, в предметном мире, рассматриваемом вне и помимо человеческой деятельности. Действительное основание этой предпосылки заключается не в природе как таковой, составляющей предмет математического созерцания и обобщения, но в предметной, чувственно-практической деятельности человека по освоению количественной стороны мира. Математические выражения приобретают смысл не в непосредственной проекции на созерцаемый мир, но на мир, осваиваемый в ходе предметной деятельности.

Задача науки вовсе не сводится к тому, чтобы зафиксировать в созерцании данную определенность и установить эмпирически, при каких обстоятельствах вещь приобретает эту определенность. Как в познании, так и во всей своей практической жизнедеятельности человек относится к природе, к объекту не созерцательно, но активно-творчески. Не довольствуясь созерцанием стихийных сил природы, он овладевает ими, присваивает их, превращая их в орудия, в средства, с помощью которых он изменяет предметы природы и приспосабливает их к своим потребностям.