Наша интуиция и «здравый смысл» простого эмпирического созерцания протестуют против такого отождествления: «кусок» плоскости, как бы он ни был мал, несводим к прямой, которая имеет только одно измерение, в отличие от плоскости, имеющей два измерения. (Правда, существует теорема о том, что часть плоскости можно заполнить непрерывной ломаной линией, но она имеет совершенно специфический смысл.) Тем не менее для математического мышления нет ничего проще такого отождествления.

Различия между математическим и эмпирическим анализом настолько глубоки, что они определяют своеобразие не только метода, но и предмета теоретического познания. Элементы вещи, даже рассматриваемой в аспекте ее пространственной определенности, и элементы самой пространственной определенности не совпадают. Они как бы лежат в различных измерениях, и сколько бы мы ни разлагали вещь на ее элементарные составные части, никогда не получим такого простейшего элемента геометрии, как точка.

Рассмотрим, например, такую пространственную определенность вещи, как объем. Поскольку мы рассматриваем объем как количественную определенность вещи, постольку и в качестве элементов этой определенности мы будем рассматривать элементы самой вещи. Так, мы говорим, что объем данной смеси жидкости состоит из одного объема воды и двух объемов кислоты. Разлагая вещь на составные элементы, мы в качестве элементов имеем объем, т.е. ту же самую определенность, анализом которой мы задались первоначально. Обращаясь к самой вещи, нам удается анализировать, разложить на составные элементы именно вещь, но не определенность объема, как таковую. Объем, как таковой, как определенность, остается неразложимым, целостным.

Это и понятно. Ведь пространство, как и время, представляет собой объективную форму существования материальных вещей, поэтому сколько бы мы ни разлагали вещи на составные компоненты, мы никогда не дойдем до такого элемента, в котором пространственные свойства действительности были бы представлены не сполна. В результате эмпирического анализа вещей мы всегда будем иметь некоторую материальную вещь, обладающую теми же пространственными свойствами, что и целое, только, возможно, в другой конфигурации. Поэтому в качестве элемента вещи мы никогда не получим плоскость, линию, тем более точку – объект, не имеющий измерений.

Разложение пространственной определенности вещи, такой, как объем, на такие элементы, как прямая, точка, эмпирически лишено смысла как со стороны анализа, так и со стороны синтеза. Формула площади круга (r2) содержательно совершенно бессмысленна, ибо такая эмпирическая определенность, как поверхность, количественным выражением которой является площадь, никак не может быть получена путем какой-либо комбинации отрезков.

Становится совершенно очевидным, что математическое количественное значение площади и самая эта площадь как определенность вещи представляют собой явления различного порядка. Но в математике рассматриваются не пространственные определенности, как таковые, а их количественные значения. А эти последние представляют собой какую-то особую реальность, отличную от той, которая раскрывается в созерцании природы. И эту реальность мы не получим с помощью одной лишь абстракции, примененной к объектам созерцания.

Что же представляет собой это количественное значение? Очевидно, что значение количественной определенности объекта и сама эта количественная определенность – различные вещи. Количественное значение пространственной определенности представляет собой образ последней, вполне отделимый от нее, допускающий самостоятельное рассмотрение и преобразование, своеобразную, обособленную, специфическую предметность.

Где же происходит это уравнивание разнородного, обезличивание и лишение содержания совершенно определенных, различных вещей? Объяснения этому математика не дает, поскольку это уравнивание составляет ее предпосылку, о природе которой она не задумывается. Это парадоксальное основоположение о количественном тождестве качественно несопоставимых объектов математика просто берет за нечто само собой разумеющееся. Тем более не объясняет этой операции физика, которая рассматривает пространственную определенность тел, как способ существования определенного физического содержания, выражение состояния качественно определенных физических процессов. Не дают объяснения этому и общие философские положения о пространстве и материи, о количестве и качестве. Ведь для философии ясно, что «формы как таковой» не существует. Как абстракция такое допущение совершенно несостоятельно. Философски его можно признать правомерным лишь как реальный факт, но не как теоретическое допущение.

Идеалистическая интерпретация математики именно и состоит в признании того, что своеобразная природа математических объектов произвольно постулируется разумом, что математические понятия – это лишь фикции, которым ничего не соответствует в реальности, что сама математика есть лишь игра по определенным правилам, все варианты которой уже имплицитно даны в условиях, в силу чего положение о тождестве качественно различных по природе геометрических образов оказывается парадоксальным лишь для нашего созерцания, но не для самой математической теории, строящейся из знаковых элементов, лишенных содержательного смысла.

При каком же условии связь математических величин следует рассматривать как рациональную?

Это условие не может быть раскрыто при рассмотрении процесса познания с позиции созерцательной гносеологии, хотя, к сожалению, этой точки зрения придерживается большинство авторов, исследующих природу математического познания.

Существо этой позиции заключается в следующем. Предмет математики составляют реальные вещи, которые рассматриваются под углом зрения их пространственной определенности. Анализ этой определенности и, следовательно, приобретение математикой своего предмета осуществляется в условиях отвлечения от качественной природы объектов. Своеобразие математики – в ее абстрактности.

Поэтому математика рассматривается, в сущности, как абстрактная пространственная физика или пространственная типология. В противоположность физике, изучающей определенные пространственные тела, геометрия должна была бы рассматривать пространственное тело вообще, вещь, лишенную всякой конкретности. Но в этом случае остается непонятным подход математики к своему предмету: анализ пространственных форм в отвлечении от всякой материи. Какого бы уровня абстрактности ни достигала математика, мы все же никогда не получим на этом пути «формы как таковой», так как всякая форма (используя наиболее абстрактное теоретическое положение – философское) есть не что иное, как способ существования определенного содержания. Отбрасывая всякое содержание, математика необходимо должна отбросить вместе с ним и всяческую форму и стать наукой, совершенно беспредметной.