На практике для повышения точности интерполяционного полинома незначительно увеличивают количество узлов интерполяции. В этом случае использование метода Лагранжа неудобно, так как добавление дополнительных узлов приводит необходимости пересчета всего интерполяционного полинома в целом. Эти недостатки устраняются, если записать полином Лагранжа, используя интерполяционный метод Ньютона.

Используя понятия разделенных разностей для полинома Ньютона можно получить выражение:

Представление интерполяционного полинома в форме Ньютона является более удобным в практических расчетах. На практике часто заранее неизвестно количество узлов и, следовательно, степень интерполяционного полинома. Для повышения точности интерполяции в сумму могут быть добавлены новые члены, что требует подключение новых узлов. Добавление новых узлов интерполяции приводит лишь к появлению новых слагаемых полинома, без изменения уже существующих, что не требует пересчета всех коэффициентов заново. При добавлении новых узлов интерполяции неважно, в каком порядке они подключаются, но существует одно условие — узлы х, не должны совпадать.

Итерационно-интерполяционный метод Эйткена позволяет свести вычисления коэффициентов интерполяционного полинома Лагранжа, с учетом его равенства в узлах интерполяции с исходными данными к вычислению функциональных определителей второго порядка. При этом эффективность метода повышается в тех случаях, когда нет необходимости в получении приближенного аналитического выражения функции f(х), заданной таблично, а требуется лишь определить значение в некоторой точке х*, отличной от узловых точек. Этот метод заключается в последовательной линейной интерполяции. Процесс вычисления f(x*) состоит в следующем: необходимо пронумеровать узлы интерполяции, например, в порядке убывания их от х*. Затем для каждой узловой точки интерполяции строятся соотношения:

которые является интерполяционными полиномами, построенными соответственно по узлам хi, хj, хk. Продолжая этот процесс, имеем следующий полином:

Полученный полином является интерполяционным полиномом, построенный по узлам хi, xj, …, хk, хm. Это утверждение верное, так как Рn-1ij…k(х) и Рn-1j…km(x) являются интерполяционными полиномами. При его реализации предполагается, что функция гладкая, а также критерием оценки погрешности определяется некоторое значение, определяемое условиями конкретной задачи.

Метод Чебышева был создан для оптимального выбора узлов интерполяции, если это возможно при решении конкретной задачи, и для получения минимально возможной погрешности аппроксимации. Предполагается, что в выборе расположения узлов интерполяции ограничений нет, и предполагается, что узлы выбираются произвольно. Ставится задача о наилучшем выборе узлов. Наилучшими узлами х, следует признать те, для которых выражение max[a,b]|ωn(x)| минимально для рассматриваемого класса функций (алгебраических полиномов). Определение этих узлов сводится к нахождению корней полинома, наименее уклоняющихся от нуля на [a, b]. Такой полином порождается полиномом Чебышева первого рода Tn+1.

Полиномы Чебышева определены в интервале [-1,1]. Для перевода интерполяции в интервале [a, b], выполняется линейная замена переменной х:

В качестве узлов интерполяции берутся корни полинома Чебышева:

Тогда погрешность Чебышевской интерполяции определяется выражением:

Использование одной интерполяционной формулы для большого числа узлов нецелесообразно, так как при этом интерполяционный полином сильно проявляет свои колебательные свойства, и значение между узлами могут сильно отличаться от значений интерполируемой функции. Одна из возможностей преодоления этого недостатка заключается в применении сплайн-интерполяции.

Наиболее известным и широко применяемым является случай сплайновой интерполяции, когда между двумя точками строится полином n-й степени

который в узлах интерполяции принимает значения интерполируемой функции и непрерывен вместе со своими (n-1)-ми производными. Такой кусочно-непрерывный интерполяционный полином называется сплайном. Его коэффициенты находят из условий в узлах интерполяции — равенства значений сплайна и приближаемой функции, а также равенства (n-1)-й производной соответствующих полиномов. Максимальная по всем частичным отрезкам степень полинома является степенью сплайна.