Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании
вернуться

Дьяконов Владимир Павлович
Шрифт:

invhilbert(expr, t, s)

где назначение параметров очевидно. Приведенные ниже примеры иллюстрируют выполнение этих преобразований:

> restart:with(inttrans):

> assume(-1/2<v,v<3/2,nu>0,a>0,alpha>0,beta>0):

> convert(hilbert(f(t),t,s), int);

> convert(invhilbert(f(t),t,s),int);

> hilbert(exp(1), r, z);

0

> hilbert(f(u), u, t);

hilbert(f(w), u, t)

> hilbert(%, t, s);

– f(s)

> hilbert(t*f(t), t, s);

> hilbert(t/(t^2+1),t,s);

> invhilbert(%,s,t);

> hilbert(sin(x)/x,x,y);

> hilbert(%,y,2);

– ln(I Z)

> hilbert(Ci(abs(t)),t,s);

– signum(s) Ssi(|s|)

> hilbert(signum(t)*Ssi(abs(t)),t,s);

Ci(|s|)

> hilbert(t*f(a*t)^2,t,s);

Как видно из этих примеров, обратное преобразование Гильберта, осуществленное над результатом прямого преобразования, не всегда восстанавливает функцию f(t) буквально. Иногда преобразование Гильберта (см. последний пример) выражается через само себя. Много интересных примеров на это преобразование Гильберта можно найти в файле gilbert.mws.

5.11.9. Интегральное преобразование Меллина

Интегральное преобразование Меллина задается выражением

и реализуется функцией

mellin(expr, x, s)

с очевидными параметрами expr, x и s. Применение преобразования Меллина иллюстрируют следующие примеры:

> assume(а>0);

> mellin(x^a,x,s);

> mellin(f(а*х),х,s); mellin(f(a*x), x, s);

> invmellin((gamma+Psi(1+s))/s,s,x,-1..infinity);

– Heaviside(1-x)ln(1-x)

Примеры на применение преобразования Меллина можно найти в файле mellin.mws.

5.11.10. Функция addtable

Как видно из приведенных примеров, не всегда интегральные преобразования дают результат в явном виде. Получить его позволяет вспомогательная функция

addtable(tname,patt,expr,t,s)

где tname — наименование преобразования, для которого образец patt должен быть добавлен к таблице поиска. Остальные параметры очевидны. Следующие примеры поясняют применение этой функции:

> fouriersin(f(t),t,s);

fouriersin(f(t), t, s)

> addtable(fouriersin,f(t),F(s), t,s);

> fouriersin(f(x),x,2);

F(z)

5.12. Регрессионный анализ

5.12.1. Функция fit для регрессии в пакете stats

В этой главе до сих пор рассматривались точные функции преобразования или представления аналитических функций. Однако часто возникает и другая задача — некоторую совокупность данных, например заданных таблично, надо приближенно представить некоторой известной аналитической функцией. Эта задача решается регрессионным анализом или просто регрессией. Параметры приближающей функции выбираются так, что она приближенно (по критерию минимума среднеквадратической ошибки) аппроксимирует исходную зависимость. Последняя, чаще всего, бывает представлена некоторым набором точек (например, полученных в результате эксперимента).

Наглядная визуализация регрессии была рассмотрена выше — см. рис. 5.23. А теперь рассмотрим типовые средства проведения регрессии (файл regres).

Для проведения регрессионного анализа служит функция fit из пакета stats, которая вызывается следующим образом:

stats[fit,leastsquare[vars,eqn,parms]](data)

или

fit[leastsquare[vars,eqn,parms]](data)

где data — список данных, vars — список переменных для представления данных, eqn — уравнение, задающее аппроксимирующую зависимость (по умолчанию линейную), parms — множество параметров, которые будут заменены вычисленными значениями.