Обратите внимание на то, что в последнем примере из справки решена система дифференциальных уравнений в частных производных.

Одна из важнейших функций пакета DEtools — DEtools[PDEplot] — служит для построения графиков решения систем с квазилинейными дифференциальными уравнениями первого порядка в частных производных. Эта функция используется в следующем виде:

Здесь помимо упоминавшихся ранее параметров используются следующие: pdiffeq — квазилинейные дифференциальные уравнения первого порядка (PDE), vars — независимая переменная и i_curve — начальные условия для параметрических кривых трехмерной поверхности. Помимо опций, указанных для функции DEplot, здесь могут использоваться следующие опции:

• animate = true, false — включение (true) или выключение (false) режима анимации графиков;

• basechar = true, false, ONLY — устанавливает показ начального условия на плоскости (х,у);

• basecolor = b_color — устанавливает цвет базовых характеристик;

• ic_assumptions — задание (в виде равенств или неравенств) ограничений на начальные условия для первых производных;

• initcolor = i_color — инициализация цвета кривой начальных условий;

• numchar = integer — залает число отрезков кривых, которое не должно быть меньше 4 (по умолчанию 20);

• numsteps = [integer1, integer2] — задает число шагов интегрирования (по умолчанию [10,10]);

• obsrange = true, false — прекращение интегрирования (true) при выходе отображаемой переменной за заданные пределы или продолжение интегрирования (false) в любом случае;

• scene=[x,y,u(x,y)] — вывод обозначений координатных осей.

С помощью параметров и опций можно задать множество возможностей для наглядной визуализации довольно сложных решений систем дифференциальных уравнений с частными производными. Следует отметить, что неправильное задание параметров ведет просто к выводу функции в строке вывода без построения графиков и нередко без сообщений об ошибках. Поэтому полезно внимательно просмотреть примеры применения этой функции — как приведенные ниже, так и в справке.

Рисунок 7.28 демонстрирует применение функции PDEplot. Этот пример из справки показывает, насколько необычным может быть решение даже простой системы дифференциальных уравнений в частных производных.

Рис. 7 28. Пример применения функции PDEplot

В данном случае решение представлено трехмерной фигурой весьма нерегулярного вида.

Другой пример использования функции PDEplot показан на рис. 7.29. Он иллюстрирует комбинированное построение графиков решения разного типа с применением функциональной закраски, реализуемой по заданной формуле с помощью опции initcolor.

Рис. 7.29. Построение комбинированного графика с помощью функции PDEplot

Еще раз отметим, что, к сожалению, рисунки в данной книге не дают представления о цвете выводимых системой Maple графиков. Поэтому наглядность решений, видимых на экране монитора, существенно выше.

Многие системы (например, нелинейные оптические резонаторы, лазерные устройства и др.) описываются системами из более чем двух нелинейных дифференциальных уравнений. Колебания в таких системах нередко носят сложный нестационарный, а порою даже хаотический характер. Примером этого может служить анализ переходных процессов в системе, описываемой тремя дифференциальными уравнениями и представленной на рис. 7.30.

Рис. 7.30. Пример решения системы из трех нелинейных дифференциальных уравнений, создающей колебания сложной формы

Поведение системы описывается тремя постоянными sigma, b и r, меняя которые можно получить самый различный вид временных зависимостей x(t), y(t) и z(t). Даже на ограниченном промежутке времени эти зависимости имеют весьма сложный и почти непредсказуемый характер и далеки от периодических колебаний. Нередко в них проглядывает фрактальный характер.

Функция odeplot позволяет получать не только графики временных зависимостей, но и фазовые портреты колебаний. Рисунок 7.31 показывает построение фазового портрета в плоскости (x, y).