Благодаря возможности выполнения символьных вычислений Maple, как и другие СКА, реализует точную арифметику. Это значит, что результат может быть получен с любым числом точных цифр. Однако надо помнить, что идеально точные численные вычисления выполняются только в случае целочисленных операций, например, таких как приведены ниже:

Обратите внимание на то, что в последнем примере точность резко потеряна, так как показатель степени 100.0 был задан как число с плавающей точкой. Соответственно и результат оказался в форме такого числа. Число верных цифр результата задает системная переменная Digits (по умолчанию 10).

Приведем еще пару примеров точных вычислений некоторых функций (с точностью до 150 знаков мантиссы):

Разработчики систем Maple и Mathematica утверждают, что в принципе возможны вычисления и с плавающей точкой с заданием до миллиона точных цифр мантиссы. Практически такая точность почти никогда не нужна, по крайней мере для физиков и инженеров. Например, всего 39 точных цифр числа π достаточно, чтобы вычислить длину окружности всей Вселенной с точностью до диаметра атома водорода. Однако истинные математики одно время были просто «помешаны» на вычислении числа π с большой точностью. Кое кто потратил на это всю жизнь. Выдающийся вклад в такие расчеты внес Рамануджан, который еще в 1916 году предложил алгоритмы и формулы для вычисления числа π с произвольной точностью.

На рис. 2.1 представлено задание одной из самых известных формул Рамануджана. Уже первый член суммы этой формулы (k= 1) дает значение числа π с погрешностью вычисления менее 3∙10– 8. Увеличение k на 1 каждый раз увеличивает число верных десятичных знаков на 8, т. е. в сто миллионов раз! В принципе эта формула может дать до миллиарда и более точных знаков числа π!

Рис. 2.1. Проверка вычислений по формуле Рамануджана

У инженеров формула Рамануджана может вызвать приступ головной или зубной боли. Уж больно несуразна она с первого взгляда. О какой точности можно говорить, если на подавляющем большинстве языков программирования корень квадратный из двух, факториал и степень вычисляются всего с 8–15 точными знаками?

Но, системы Maple 9.5, благодаря встроенному аппарату точной арифметики, способна обеспечить эффективную проверку подобных формул. В нашем случае мы ограничились случаем n= 100 (максимальное значение k) и провели вычисления «всего» 600 цифр числа π — с тем, чтобы результаты вместились в один рисунок. И они говорит сам за себя — все цифры при вычислении числа π по формуле Рамануджана и по встроенному в Maple алгоритму полностью совпали, а вычисленная ошибка равна нулю!

Maple, естественно, как и другие СКМ, может работать с комплексными числами вида z=Re(z)+I∙Im(z). Мнимая единица в комплексном числе (корень квадратный из -1) обозначается как I. Функции Re(z) и Im(z) возвращают действительную и мнимую части комплексных чисел. На комплексной плоскости числа задаются координатами точек (х, у) — рис. 2.2.

Рис. 2.2. Представление обычных и комплексных чисел на плоскости