Шрифт:
Определенный интеграл представляется числом, а неопределенный — функцией. Для их вычисления используются принципиально различные методы. Так, вычисление неопределенного интеграла возможно только в системах символьной математики. А вот для вычисления определенных интегралов используются как символьные, так и численные методы интегрирования.
Встречается ряд специальных видов интегралов. Один из них — интеграл с переменным верхним пределом, представленный в виде:
В данном случае верхний предел представлен функцией y(х).
Следует отметить, что Maple обычно стремиться вычислить определенный интеграл в аналитическом виде, даже если он представляется числом. Если нужно найти заведомо численное значение определенного интеграла, можно воспользоваться численными методами вычисления.
4.4.2. Вычисление неопределенных интегралов
Для вычисления неопределенных и определенных интегралов Maple предоставляет следующие функции:
Здесь f — подынтегральная функция, x — переменная, по которой выполняются вычисления, а и b — нижний и верхний пределы интегрирования, continuous — необязательное дополнительное условие.
Maple старается найти аналитическое значение интеграла с заданной подынтегральной функцией. Если это не удается (например, для «не берущихся» интегралов), то возвращается исходная запись интеграла. Ниже приведены примеры визуализации и вычисления неопределенных интегралов (файл intex):
Обратите внимание, что в аналитическом представлении неопределенных интегралов отсутствует произвольная постоянная С. Не следует забывать о ее существовании.
Возможно вычисление сумм интегралов и интегралов сумм, а также интегралов от полиномов.
Maple 9.5 успешно берет большинство справочных интегралов. Но не всегда форма представления интеграла совпадает с приведенной в том или ином справочнике.
4.4.3. Конвертирование и преобразование интегралов
В некоторых случаях Maple не может вычислить интеграл. Тогда он просто повторяет его. С помощью функций taylor и convert можно попытаться получить аналитическое решение в виде полинома умеренной степени, что демонстрирует следующий характерный пример:
Естественно, что в этом случае решение является приближенным, но оно все же есть и с ним можно работать, например, можно построить график функции, представляющей данный интеграл.
Система Maple непрерывно совершенствуется. Например, в Maple V R4 интеграл с подынтегральной функцией ехр(х^4) не брался, а системы Maple, начиная с версии Maple 7, с легкостью берут его:
Хотя полученный результат, выраженный через гамма-функцию, нельзя назвать очень простым, но он существует и с ним также можно работать. Например, можно попытаться несколько упростить его, используя функцию simplify: