Одновременно со мною в ту же зиму 1920–1921 гг. магистрантские экзамены сдавал и П. С. Урысон. Программы этих экзаменов у нас были почти тождественные и мы скоро привыкли сдавать их в одни и те же дни, соответственно по одним и тем же предметам. Как уже упоминалось, за несколько дней перед каждым экзаменом, приезжая из Смоленска, я встречался с Урысоном и мы устраивали друг другу репетицию каждого экзамена. Иногда в этих «генеральных репетициях» принимал участие и В. В. Степанов, к этому времени хорошо познакомившийся и с Урысоном. Наша метода совместного сдавания экзаменов получила своё краткое выражение в формулировке В. В. Степанова: П. С. А. и П. С. У., или, сокращенно, ПСЫ, сдают свои экзамены «голова в голову», а только что упомянутое множественное, или, вернее, двойственное число получило всеобщее распространение в Лузитании.

Урысон любил музыку не меньше, чем я, а в Москве и в этот, и в следующие годы происходило огромное количество хороших концертов. Пожалуй, никогда на моей памяти Москва в такой степени не была напоена серьёзной музыкой, как в двадцатые годы. Концерты шли циклами: все симфонии Бетховена, все симфонии Чайковского, все бетховенские квартеты, все фортепианные сонаты Бетховена и т.д. Концерты проходили при полных залах. Большинство публики, конечно, составляла молодёжь. Люди шли слушать музыку, серьёзную музыку, именно музыку, а не выступления отдельных модных знаменитостей. Урысон и я старались не пропускать хороших концертов, так что мы почти каждый вечер бывали в концерте. Этому способствовало и то, что мы оба имели твёрдое обыкновение никогда не заниматься математикой по вечерам и привычку к регулярному образу жизни.

30 марта мы пошли в Бетховенский зал, помещавшийся в здании Большого театра, на вечер бетховенских скрипичных сонат. После концерта один из нас проводил другого до дому, и мы в эту ночь провожали друг друга по очереди: то Урысон провожал меня, то я его. Так мы и проделывали в обоих направлениях путь между Пименовским переулком (недалеко от площади Маяковского), где жил Урысон, до Кисловского переулка (рядом с Консерваторией), где жил я у своего брата. Я не знаю, сколько раз мы проделали эти колебательные движения. Но когда мы наконец где-то посреди Тверского бульвара решили разойтись по домам, было уж 5 часов утра. Перед тем как проститься, мы перешли «на ты» и решили считать эту прогулку ночью с 30 на 31 марта 1921 г. началом нашей дружбы.

Через день произошло другое событие в моей жизни: 2-го апреля я вступил в брак с Екатериной Романовной Эйгес. Брак этот не был удачным и заключение его было ошибкой. Екатерина Романовна была человеком, созданным для семейной жизни, я же к этой жизни был вовсе не приспособлен, и для меня ошибкой было бы вступление в какой бы то ни было брак.

Летом 1921 г. группа участников Лузитании сняла дачу в деревне Бурково недалеко от Болшева, на берегу реки Клязьмы, вблизи места, где эта река превращается в Образцовский пруд, о котором скажу немного дальше.

В одно августовское утро Урысон и я оба были на бурковской даче и отправились купаться на Клязьму. Во время купанья Урысон рассказал мне своё определение размерности, к которому только что пришёл, а потом начал мне подробно излагать основные положения теории размерности. В результате мы тогда провели на реке подряд несколько часов жаркого солнечного дня. Я, таким образом, присутствовал при зарождении одной из прекраснейших глав топологии — урысоновской теории размерности. Когда Урысон кончил своё долгое математическое повествование на берегу реки Клязьмы, нам обоим было уже пора возвращаться в Москву.

В начале мая следующего 1922 г. мы с Урысоном вдвоём сняли комнату в дачном посёлке Старые Горки, также на самом берегу Клязьмы, но уже на другом, почти точно против Буркова, лишь немного выше по течению. В этой дачной комнате мы прожили всё лето 1922 г. В это лето, бывшее для нас обоих временем напряжённой математической работы, мы и сочинили наш совместный «Мемуар о компактных топологических пространствах». Скажу, как шла наша совместная работа над этим «Мемуаром», а кстати, и вообще наша жизнь этим летом.

Это лето, как и предшествовавшее ему, было на редкость жаркое и солнечное. Мы сразу после пробуждения от сна отправлялись на реку, она была буквально в нескольких шагах от нашего дома. С собою мы брали большое количество чёрного хлеба и сливочного, слегка подсоленного масла: оно у нас было в изобилии (мы оба получали «академический» паёк). На этом пищевом рационе мы существовали примерно до 3–4 часов пополудни, проводя всё это время в купании и в математических занятиях, состоявших; из размышлений каждого из нас и из разговоров (т.е. из совместных математических размышлений); кроме того, мы катались на лодке (о чём ниже). Наши математические разговоры мы чаще всего вели, прогуливаясь по берегу реки. Бывало и так, что мы на целый день отправлялись на лодке в упомянутый выше Образцовский пруд. Этот пруд с его тростниковыми зарослями и множеством кувшинок казался нам сказочно прекрасным, восьмым чудом света.

Как уже сказано, часа в 3–4 мы возвращались домой. Там мы варили себе и пили крепкий кофе с молоком (к нему были хлеб, масло и сыр). Потом мы сами изготовляли себе мороженое; мороженица у нас была, яйцами и молоком нас обильно снабжала хозяйка в обмен на отдаваемую нами ей полностью мясную часть нашего пайка. Во время длительной операции приготовления мороженого мы опять беседовали, главным образом на математические темы.

Я уже говорил, что мы довольно много плавали на лодке по Клязьме, и главным образом по Образцовскому пруду. Своей лодки у нас не было, и мы должны были обратиться с просьбой позволить нам пользоваться его лодкой к жившему на даче по соседству с нами профессору гистологии Московского университета В. Е. Фомину, отцу известного (ныне покойного) математика Сергея Васильевича Фомина, которому было тогда 5 лет. При разговоре с профессором В. Е. Фоминым мы сослались на Д. Ф. Егорова, который, как мы сказали, вероятно, не откажется нас порекомендовать.