Шрифт:
(Если вы хоть раз занимались мало-мальски серьезным программированием на компьютере, то вам знакома концепция перегрузкисимвола. Использование буквы для двух совершенно различных целей есть некоторое подобие перегрузки этого символа.)
Итак, функция (N)определена как число простых чисел до N(включая само N, хотя это довольно редко имеет значение, и я не буду особенно следить за употреблением выражений «меньших, чем» и «не превышающих»). Но вернемся к нашему основному вопросу: есть ли какое-нибудь правило, какая-нибудь изящная формула, которая даст нам значение (N), избавив от необходимости заниматься счетом?
Позвольте мне устроить небольшой фокус с таблицей 3.1 . Я поделю первую колонку на вторую — аргументы на значения. Я не гонюсь за безумной точностью. И вообще буду пользоваться карманным калькулятором за 6 долларов, с которым я хожу в супермаркет. Вот что получается: 100 разделить на 168 даст 5,9524; 1 000 000 разделить на 78 498 даст 12,7392. Еще четыре результата подобного же вычисления дают нам таблицу 3.2.
| N | N/(N) |
|---|---|
| 1 000 | 5,9524 |
| 1 000 000 | 12,7392 |
| 1 000 000 000 | 19,6665 |
| 1 000 000 000 000 | 26,5901 |
| 1 000 000 000 000 000 | 33,5069 |
| 1 000 000 000 000 000 000 | 40,4204 |
Таблица 3.2.
Посмотрим пристально на эти значения. Они всякий раз возрастают на 7. Точнее, на число, которое болтается между 6,8 и 7,0. Может, вам это и не кажется чем-то особенно чудесным, но когда математик видит такую таблицу, над головой у него ярко вспыхивает лампочка и определенное слово приходит ему на ум. Позвольте объяснить.
Имеется определенное семейство функций, которые страшно важны в математике, — показательныефункции. Не исключено, что вы о них кое-что знаете. Их еще называют «экспоненциальными», и это слово проникло из математики в обычный язык. Мы все надеемся, что наши деньги, вложенные в инвестиционные фонды, будут расти экспоненциально — другими словами, быстрее и быстрее.
С принятой нами точки зрения — иллюстрирования функций двухколоночными таблицами типа таблицы 3.1 — можно нестрого определить показательную функцию следующим образом. Если взять набор значений аргумента так, чтобы при переходе от строки к строке они росли как результат регулярного сложения, и если при этом окажется, что получающиеся значения функции растут как результат регулярного умножения, то перед нами — показательная функция. Слово «регулярный» здесь означает, что происходит прибавление одного и того же числа или умножение на одно и то же число.
Рассмотрим пример. Возьмем правило «вычислить 5x5x5x5x… — выражение, содержащее Nпятерок».
| N | 5 N |
|---|---|
| 1 | 5 |
| 2 | 25 |
| 3 | 125 |
| 4 | 635 |
Видите, как аргумент каждый раз увеличивается путем прибавления 1, в то время как значения каждый раз увеличиваются путем умножения на 5? Это показательная функция. Аргументы увеличиваются «по сложению», а значения — «по умножению».
Я для удобства выбрал вариант, когда аргумент каждый раз увеличивается путем прибавления 1, и буду придерживаться его и далее. Для данной конкретной функции это приводит к умножению аргумента на 5. Разумеется, в числе 5 нет ничего специального. Можно было бы выбрать функцию, в которой множитель равен 2, или 22, или 761, или 1,05 (что, кстати, дало бы таблицу накопления сложных процентов при ставке в 5%), или даже 0,5. В каждом из случаев мы получим показательную функцию. Вот почему я сказал, что имеется некоторое «семейство функций».
Еще один термин, который математики обожают, — «канонический вид». В ситуации, подобной данной, когда имеется явление (в нашем случае — показательная функция), которое может проявляться многими различными способами, есть, вообще говоря, один способ, которым математики желают представить все явление. В данном случае вот какой. Есть однапоказательная функция, которую математики предпочитают всем остальным. Если бы вы принялись угадывать, то, наверное, предположили бы, что это та функция, в которой множителем является число 2 — самое простое в конце концов, на что можно умножить. Но нет! Канонический вид показательной функции, предпочтительный для математиков, имеет множитель 2,718281828459045235. Это еще одно магическое число наряду с ,которое проявляет себя во всех областях математики. [17] Оно уже встречалось нам в этой книге (см. главу 1.vii). Оно иррационально [18] , так что последовательность знаков после запятой никогда не повторяется и его нельзя переписать в виде дроби. Символ eдля этого числа был введен Леонардом Эйлером, о котором будет много всего сказано в следующей главе.
17
Вот только один пример неожиданного появления числа e.Возьмем случайное число, заключенное между 0 и 1. Теперь возьмем другое и прибавим его к первому. Продолжим так поступать, накапливая случайные числа. Сколько в среднем случайных чисел потребуется, чтобы сумма оказалась больше, чем 1? Ответ: 2,71828….
18
Одно из великих математических открытий Античности, сделанное Пифагором или одним из его учеников около 600 г. до P.X., состояло в том, что не всякое число есть целое или дробь. Например, квадратный корень из 2, без сомнения, не является целым. Грубая арифметика показывает, что он лежит где-то между 1,4 (которое в квадрате дает 1,96) и 1,5 (которое в квадрате дает 2,25). Это, однако, и не дробь. Доказательство таково. Пусть Sобозначает множество положительных целых чисел n,для которых выполнено такое свойство: n2— также положительное целое число. Если множество Sне пусто, в нем есть наименьший элемент. ( Любоенепустое множество положительных целых чисел имеет наименьший элемент.) Обозначим этот наименьший элемент буквой k.Теперь образуем число u = (2 - 1)k.Легко видеть, что (i) uменьше, чем k,(ii) u— положительное целое и (iii) u2— также положительное целое, так что (iv) uлежит в множестве S.Это противоречие, поскольку мы определили kкак наименьший элемент из S,и, следовательно, предположение, из которого мы исходили, — что Sне пусто — должно быть ложным. Следовательно, множество Sпусто. Следовательно, нет положительного целого числа n,для которого n2— положительное целое число. Следовательно, 2 — не дробь. Число, которое не является ни целым, ни дробным, называется «иррациональным», поскольку оно не есть отношение (ratio) двух целых чисел.
Но почему именно это число? Не слишком ли оно неуклюже, чтобы с его помощью определять канонический вид? Разве не много проще было бы с числом 2? Да, наверное, для целей умножения было бы проще. Я не могу объяснить важность числа e, не вдаваясь в вычисления, а я дал торжественный обет объяснить Гипотезу Римана с минимумом вычислений. По этой причине я просто убедительно попрошу вас принять на веру, что e— действительно, действительноважное число и что ни одна другая показательная функция не может и близко сравниться с этой e N.Вот как выглядит наша таблица: