(здесь точность — 12 знаков после запятой). Основной принцип, конечно, сохраняется — аргументы (левая колонка) растут каждый раз за счет добавления 1; при этом значения в правой колонке каждый раз умножаются на e.

А если наоборот? Представим себе функцию, основанную на таком правиле: когда аргумент растет «по умножению», значения растут «по сложению». Что за функция получится?

Здесь мы вступаем в царство обратныхфункций. Математики имеют особое пристрастие к тому, чтобы обращать самые разные вещи — выворачивать их наизнанку. Если уесть 8 умножить на x, то как выразить xчерез y? Понятно, что это y/8. Деление обратно умножению. Еще есть такое любимое нами действие, как возведение в квадрат, когда мы умножаем число само на себя. И каково же его обращение? Если y = x 2, то чему равен xв терминах y? Ну да, это квадратный корень из y.Если вы немного знакомы с анализом, то знаете, что есть действие, называемое «дифференцированием», которое позволяет превратить функцию fв другую функцию — g, говорящую о том, какова мгновенная скорость изменения функции fпри каждом ее аргументе. И каково же действие, обратное дифференцированию? Это интегрирование. Ну и так далее. Обращение станет ключевой темой позднее, когда мы вникнем в работу Римана 1859 года.

С точки зрения принятого нами подхода, когда функции показаны в виде таблиц, обращение просто означает отражение таблицы, при котором ее правая часть становится левой, а левая — правой. Правда, это быстрый способ нажить себе неприятности. Возьмем функцию возведения в квадрат — скорее всего, первую нетривиальную функцию, с которой вы познакомились в школе. Чтобы возвести число в квадрат, мы умножаем его само на себя. Вот соответствующая таблица:

(Я полагаю, что вы помните о правиле знаков, так что -3 умножить на -3 дает 9, а не -9). [19] А теперь поменяем колонки местами и получим обратную функцию:

Но постойте-ка! Каково же значение функции при аргументе, равном 9? Это -3 или 3? Похоже, что эта функция принимает такой вид:

Так дело не пойдет — слишком путано. Вообще-то… вообще-то существуетматематическая теория многозначных функций. Бернхард Риман был знатоком этой теории, и мы познакомимся с его идеями в главе 13.v. Но сейчас не время и не место для этого, и я не собираюсь тащить сюда сундук, набитый подобными вещами. Во всяком случае, что касается меня, то железное правило состоит в том, что на один аргумент — самое большее одно значение (ни одного значения, разумеется, если аргумент не лежит в области определения функции). Квадратный корень из 1 равен 1, квадратный корень из 4 равен 2, квадратный корень из 9 равен 3. Означает ли это, что я не признаю того факта, что -3 умножить на -3 даст 9? Разумеется, я его признаю, я просто не включаю его в мое определение «квадратного корня». Вот мое определение квадратного корня (по крайней мере на данный момент): квадратный корень из Nесть единственное неотрицательное число (если таковое имеется), которое при умножении само на себя дает N.

По счастью, показательная функция не доставляет нам подобных хлопот. Вы можете шутя обратить ее и получить функцию, которая при выборе аргументов, получаемых друг из друга умножением, дает значения, получаемые друг из друга сложением. Разумеется, как и в случае показательных функций, обратные им функции также образуют семейство, зависящее от множителя; и, как и с показательной функцией, математикам намного, намного больше всех остальных нравится та, к значениям которой прибавляется единица, когда аргументы умножаются на e. Получаемую функцию называют логарифмической, а обозначают ln. [20] «Логарифм!» — вот слово, которое возникло в голове математика при вспышке лампочки, когда он увидел таблицу 3.2 . Если y = e x,то x = ln y. (Отсюда, кстати, путем простой подстановки следует, что для любого положительного числа увыполнено y = e ln y — факт, которым мы не преминем как следует воспользоваться в дальнейшем.)

В математических сюжетах, имеющих отношение к данной книге — то есть к Гипотезе Римана, — логарифмическая функция присутствует повсеместно. Мы поговорим о ней куда более подробно в главах 5 и 7, и она будет играть роль настоящей звезды нашего рассказа, когда в главе 19 мы повернем наконец Золотой Ключ. Пока же давайте примем на веру, что это — функция в только что описанном смысле, по-настоящему важная математическая функция, и при этом обратная к показательной функции: если y = e x,то x = ln y.

Теперь я перейду прямо к сути дела и покажу вам логарифмическую функцию, но вместо того, чтобы двигаться вперед шагами, соответствующими умножению на e, давайте умножать аргументы на 1000. Как мы уже говорили, когда функцию представляют в виде таблицы, надо выбрать аргументы (а также число знаков после запятой — в нашем случае четыре). Клянусь, что это та же самая функция. Чтобы лучше было видно, что тут происходит, я справа добавил в таблицу еще две колонки: первая из них — это просто правая колонка из таблицы 3.2 , а вторая выражает в процентах отклонение нашей колонки номер 2 от колонки номер 3. Результат приведен в таблице 3.3.