Шрифт:
Рисунок 19.4.
Конечно, площадь под графиком функции Jбесконечна. Нарисованная полоска уже имеет бесконечную площадь (высота 1/ 2, длина бесконечна, площадь 1/ 2x = ). Таковы же площади и всех других полосок. Все вместе они складываются в бесконечность. Но что, если я пожелаю «придавить» функцию Jсправа таким образом, чтобы площадь под графиком стала конечной? Так, чтобы каждая из этих полосок постепенно сужалась и сжималась до такой степени, чтобы площадь ее стала конечной? Как можно было бы осуществить такое «придавливание»?
Последний интеграл подсказывает как. Предположим, что мы взяли какое-нибудь число s(которое будем считать большим единицы). Для каждого аргумента xумножим J(x)на x – s– 1. Для иллюстрации возьмем s = 1,2. Тогда x – s– 1= x – 2,2или, другими словами, 1/ x 2,2. Возьмем аргумент x, скажем, равным 15. Вот, J(15) есть 7,333333…, а 15 – 2,2равно 0,00258582…. Перемножая, получаем, что J(x)x – s– 1имеет значение 0,018962721…. Если брать большие аргументы, то сдавливание будет выражено более ярко. При x = 100 значение выражения J(x)x – s– 1равно 0,001135932….
На рисунке 19.5 показан график функции J(x)x – s– 1при s = 1,2. Чтобы подчеркнуть «эффект сдавливания», там показана та же самая полоска, которая была выделена и ранее, но теперь после сдавливания. Видно, как она все более и более худеет по мере того, как аргумент устремляется на восток. Имеется вполне реальный шанс, что вся площадь окажется конечной, несмотря на свою бесконечную длину. В предположении, что так и есть и что дело обстоит таким же образом для всех полосок, спросим себя: какова же будет полная площадь под графиком этой функции? Или, выражаясь математически, каково будет значение
Рисунок 19.5.
Давайте посмотрим. Будем перебирать простые числа одно за одним. Для простого числа 2 до сдавливания имеем полоску высоты 1, идущую от 2 до бесконечности, далее полоску высоты идущую от 2 2до бесконечности, затем полоску высоты идущую от 2 3до бесконечности, и т.д. Сумма площадей сдавленных полосок — если мы рассматриваем пока только простое число 2 — равна (19.4):
Конечно, это пока только 2-полоски. Имеется аналогичная бесконечная сумма интегралов для 3-полосок (19.5):
И аналогичная сумма для 5, потом для 7 и т.д. для всех простых чисел. Бесконечная сумма бесконечных сумм интегралов! Все хуже и хуже! Да, но самый густой мрак перед рассветом.
Это возвращает нас к началу данного раздела. Поскольку интеграл прозрачен для умножения на число ,
Я просто не нахожу слов, чтобы выразить, насколько это чудесный результат. Он ведет прямо к центральному результату в работе Римана — результату, который будет предъявлен в главе 21. На самом деле это просто переписывание Золотого Ключа в терминах анализа. Однако переписать его так — это невероятно мощное достижение, потому что теперь Золотой Ключ открыт для всех мощных средств дифференциального и интегрального исчисления XIX века. В этом состояло достижение Римана.
Среди упомянутых средств обращения имеется еще один метод, который позволяет вывернуть полученное выражение наизнанку и записать Jчерез . Я немного потяну с предъявлением обращенного выражения. Но логика во всяком случае ясна:
• можно выразить (x)через J(x)(раздел IV данной главы);
• обратив выражение (19.6) , можно выразить J(x)через дзета-функцию
и, следовательно,
• можно выразить (x)через дзета-функцию.
Именно за это предприятие Риман и взялся, потому что в результате окажется, что все свойства функции некоторым образом закодированы в свойствах -функции.
Функция относится к теории чисел; -функция относится к анализу, и мы перебросили понтонный мост через пролив, разделяющий два берега — счет и измерение. Коротко говоря, мы только что получили мощный результат в аналитической теории чисел. На рисунке 19.6 графически представлено выражение (19.6) — Золотой Ключ в аналитическом виде.