Здесь « » обозначает функцию числа простых чисел именно в том виде, как выше мы ее определили для любого вещественного числа x.

Заметим, что приведенная сумма — небесконечная. Чтобы убедиться в этом, возьмем любое фиксированное число x, скажем, x = 100. Квадратный корень из 100 равен 10; кубический корень равен 4,641588…; корень четвертой степени равен 3,162277…; корень пятой степени 2,511886…; корень шестой степени 2,154434…; корень седьмой степени 1,930697…; корень восьмой степени 1,778279…; корень девятой степени 1,668100… и корень десятой степени равен 1,584893…. Можно было бы, конечно, вычислить и корни одиннадцатой, двенадцатой, тринадцатой степени и т.д., сколько вам заблагорассудится, но в этом нет необходимости, потому что функция числа простых чисел обладает таким очень приятным свойством: если xменьше 2, то (x)равна нулю — просто потому, что нет никаких простых чисел, меньших 2! Таким образом, при вычислении корней из 100 можно было на самом деле остановиться после корня седьмой степени. Вот что мы в результате имеем:

и если теперь сосчитать число простых, то это равно

что дает 28 8/ 15или 28,53333…. При извлечении корней из любого числа рано или поздно значения падают ниже 2, и начиная с этого места все члены в выражении для функции Jравны нулю. Поэтому для любого аргумента xзначение функции J(x)можно получить, вычисляя конечнуюсумму — существенное улучшение по сравнению с некоторыми из функций, что нам встречались!

Как уже говорилось, функция Jступенчатая. На рисунке 19.2 показано, как она выглядит при аргументах до 10. Как видно, функция Jсовершает прыжок от одного значения к другому, остается на новом значении на некоторое время, потом совершает новый прыжок. Что это за прыжки? Какой закон за ними стоит?

Вглядевшись очень внимательно в выражение (19.1) , мы увидим следующую закономерность. Во-первых, когда x— простое число, функция J(x)совершает прыжок на высоту 1, потому что (x)— число простых чисел, не превышающих x, — при этом увеличивается на 1. Во-вторых, когда xявляется точным квадратом простого числа (например, x = 9, что есть квадрат числа 3), J(x)совершает прыжок на одну вторую, потому что квадратный корень из xесть простое число, а значит, (x)возрастает на 1. В-третьих, когда xесть точный куб простого числа (например, x = 8, что есть куб числа 2), J(x)совершает прыжок на одну треть, потому что кубичный корень из xравен простому числу, а значит, ( 3 x)возрастает на 1, и т.д.

Попутно заметим, что функция Jобладает тем же свойством, которым мы снабдили функцию (x): в точке, где реально происходит прыжок, она принимает значение, лежащее посередине между теми значениями, от которого и до которого она прыгает.

Для полноты представления функции Jна рисунке 19.3 изображен график J(x)при аргументах до 100. Самый маленький прыжок здесь совершается при x = 64 — это число представляет собой шестую степень (64 = 2 6), так что функция Jпрыгает при x = 64 на одну шестую.

Какую пользу может принести подобная функция? Терпение, терпение. Сначала придется совершить один из тех логических скачков, о которых я предупреждал в начале главы.

Напоминаю в который уже раз, что у математиков есть масса способов обращать соотношения. Дали нам выражение для Pчерез Q— отлично, посмотрим, не найдется ли способа выразить Qчерез P. В течение столетий в математике был развит целый инструментарий для того, чтобы совершать обращения, — он включает набор приемов для использования в самых разных условиях и обстоятельствах. Один из таких приемов носит название мебиусова обращения, и оно-то нам сейчас и нужно.

Не буду пытаться объяснить мебиусово обращение в общем виде. Оно описано в любом хорошем учебнике по теории чисел (см., например, раздел 16.4 в классической монографии «Теория чисел» Харди и Райта), а кроме того, поиск в Интернете наведет вас на множество ссылок. Подражая до некоторой степени самим функциям и J, я вместо того, чтобы уныло тащиться от одной точки в моих рассуждениях к другой, перескочу сразу к следующему факту: применение мебиусова обращения к выражению (19.1) дает такой результат: