Теперь у нас есть точное правило суммирования дипольных моментов:

Однако использовать формулу (67) для нахождения связи с (63) следует с осторожностью, поскольку некоторые члены в (67) отрицательные. Здесь может помочь следующая хитрость. В каждом члене (63) ^, согласно (66), положительно; таким образом, (62) дает нам:

i ij 3< (k/h) 3(exp(h ij/ k) - 1) = ( j– i) (k/h)\ (68)

Таким образом, из (63) следует:

Теперь индексы суммирования (i, j) можно поменять в той части формулы (69), которая содержит i. Получаем результат:

где суммирование теперь проводится по всем (i, j) независимо от того, выполняется (66) или нет. Правило суммирования (67) можно затем использовать в (70) и получить результат (61).

Это доказательство (61) предполагает, что все частицы, кроме электронов, обладают такой большой массой, что при расчетах генерируемого излучения ими можно пренебречь. Оно предполагает также, что можно пренебречь магнитным дипольным и многополюсным излучением. Интересно было бы узнать, можно ли доказать (61), не используя дипольное приближение (63).

С первого взгляда может показаться странным, что правая сторона (61) пропорциональна 3, а не 4, поскольку стандартная формула Стефана–Больцмана для мощности, испускаемой черным телом, пропорциональна 4. Однако в этом случае формула Стефана–Больцмана неприменима, поскольку она требует от излучателя оптической плотности. Максимум испускаемой мощности, заданный (61), может быть достигнут, только если излучатель оптически прозрачен.

Сделав это небольшое отступление в область физики, вернемся к биологии. Второе ограничение на температуру связано с тем, что скорость траты энергии (59) не должна превышать мощность (61), способную выделяться в пространство. Это ограничение накладывает на нас нижний температурный предел:

Соотношение (Q/N) между сложностью сообщества и числом электронов, находящихся в его распоряжении, не может быть произвольно мало. Для современного человечества, с Q, заданным (58), и

(количество электронов в биосфере земли), соотношение равно 10–9. С течением развития и усложнения общества это соотношение скорее увеличивается, чем уменьшается. Таким образом, (73) и (59) предполагают более низкий предел скорости излучения энергии для общества заданной сложности. Поскольку общий объем энергии, доступной сообществу, конечен, конечно и время его существования. Мы пришли к печальному заключению, что одного замедления обмена веществ, описанного в моей гипотезе биологического времени, недостаточно для того, чтобы сообщество жило вечно.

К счастью, у жизни есть и другая стратегия, дающая надежду избегнуть печальной участи, а именно впадение в спячку. Обмен веществ может совершаться с перерывами; при этом излучение лишней энергии может не прерываться и в периоды спячки. В активной фазе жизнь может находиться в термальном контакте с излучателем при температуре . В спячке излучатель может по–прежнему сохранять температуру , но сама жизнь — поддерживать гораздо более низкую температуру, так что обмен веществ, в сущности, остановится.

Предположим, что сообщество проводит часть g(t) своего времени в активной фазе, а часть [1—g(t)] в спячке. Циклы активности и спячки должны быть достаточно коротки, чтобы значения g(t) и (t) не испытывали значительных колебаний в течение одного цикла. Формулы (56) и (59) больше не работают. Вместо них субъективное время определяется формулой

и средняя скорость излучения энергии равняется

Ограничение (71) заменяется

Жизнь выделяет мощность в соответствии с ограничением (61), увеличивая продолжительность жизненных циклов пропорционально снижению температуры.

Приведем пример возможной стратегии долгоживущего сообщества. Мы можем удовлетворить условиям (60) и (76) в широких пределах, если примем

где 0и t 0— нынешняя температура жизни и нынешний возраст вселенной. Экспонента а должна лежать в пределах

Для большей определенности примем

Тогда, согласно (74), получаем субъективное время

где