Применяя аналогичные проекции к гиперсферам, определяющим другие неевклидовы пространства, мы получим конформные модели этих пространств. Эти модели можно рассматривать как модели конформного и псевдоконформных пространств.

Симплектическим пространством размерности 2n-1 называется проективное пространство той же размерности, в котором задана кососимметрическая билинейная форма (a,b) = - (b,a). Прямые линии АВ, определяемые точками А и В, представляемыми векторами а и b, для которых (a,b) = 0, называются нуль -прямыми, они образуют линейный комплекс прямых. Проективные преобразования, переводящие в себя этот линейный комплекс, называются симплектическими преобразованиями.

Первоначально эти преобразования назывались преобразованиями линейного комплекса, а группа этих преобразований называлась комплекс- группой (Komplex-Gruppe). Когда Герман Вейль переехал из Германии в США и стал называть комлекс - группу complex group, он увидел, что это неудобно, так как эти же слова означают "комплексная группа". Поэтому он предложил называть эту группу симплектической, переведя латинское слово complexus - "сложный" греческим словом symplektikos. Преобразования и пространство также стали называть симплектическими.

Симплектическим пространством размерности 2n называется аффинное пространство той же размерности, в котором определено кососимметрическое скалярное произведение векторов (a,b) = -(b,a).

Топологическое пространство, каждая точка которого обладает окрестностью гомеоморфной n-мерному евклидову пространству, называется n-мерным многообразием. В каждой такой окрестности можно ввести координаты, определяемые координатами в евклидовом пространстве.

В том случае, когда в каждом пересечении таких окрестностей переход от одной системы координат к другой задается дифференцируемыми или аналитическими функциями, многообразие называется, соответственно, дифференцируемым или аналитическим.

В каждой точке дифференцируемого многообразия можно определить касательное линейное пространство. Координаты векторов этого простран­ства являются дифференциалами координат точек многообразия.

Если в касательном пространстве каждой точки n-мерного диф­ференцируемого многообразия определено скалярное произведение n- мерного евклидова пространства или n-мерного пседоевклидова пространства индекса k, мы получим, соответственно, n-мерное риманово пространство или псевдориманово пространство индекса k. В римановых и псевдоримановых пространствах можно определить длину линии, угол между пересекающимися линиями, геодезические (кратчайшие) линии и площадь участка двумерной поверхности.

Если из точки А риманова пространства выходят геодезические линии АВ и АС, и углы геодезического треугольника АВС при его вершинах обозначены теми же буквами A, B, C, то предел отношения разности А+В+С-п, где углы А,В,С измерены в радианной мере, к площади треугольника АВС при стремлении точек В и С к А называется секционной кривизной риманова пространства в точке А в данном двумерном направлении.

Эллиптическое и гиперболическое пространства являются частными случаями риманова пространства. Так как площадь всякого прямолинейного треугольника АВС в эллиптическом пространстве, получаемом из гиперсферы радиуса r, равна r (A+B+C-п), эллиптическое пространство является римановым пространством постоянной положительной кривизны 1/r2. Taк как площадь всякого прямолинейного треугольника АВС в гиперболическом пространстве, получаемом из гиперсферы мнимого радиуса r, равна r (A+B+C-pi),, гиперболическое пространство является римановым пространством постоянной отрицательной кривизны -1/q2.

Aналогично определяется секционная кривизна в двумерном направлении в псевдоримановом пространстве.

Если в дифференцируемом многообразии для всяких двух бесконечно близких точек определено аффинное отображение касательных пространств в этих точках, многообразие называется пространством аффинной связности.

Если в римановом или псевдоримановом пространстве или в пространстве аффинной связности отражение от каждой точки по геодезическим линиям не изменяет расстояний между точками или сохраняет аффинную связность, пространство называется симметрическим пространством.

Геометрии вещественных евклидовых, псевдоевклидовых, неевклидовых, симметрических, римановых и псевдоримановых пространств посвящены многие главы моих книг 1955, 1966, 1969 и 1997 гг. При этом особое внимание я уделял интерпретациям неевклидовых пространств, так как считаю интерпретации "стереоскопическим зрением геометра", ибо свойства неевклидовых пространств, которые отличаются от свойст евклидова пространства и ускользают от нашего внимания в одних интерпретациях, хорошо видны в других интерпретациях.

Комплексные и кватернионные пространства

Комплексное квадратичное евклидово пространство определяется так же, как вещественное. Это же пространство является комплексной формой всех вещественных псевдоевклидовых пространств той же размерности. В случае комплексного и кватернионного эрмитовых евклидовых пространств скалярный квадрат (а,а) является вещественной положительно определенной эрмитовой формой, а в случае комплексного и кватернионного эрмитовых псевдоевклидовых пространств индекса k скалярный квадрат (а,а) является вещественной знаконеопределенной эрмитовой формой индекса k.