Компактная простая группа Ли класса Bn локально изоморфна группе движений 2n-мерного вещественного эллиптического пространства.

Некомпактные простые группы Ли класса Bn локально изоморфны группам движений 2n-мерных вещественных гиперболического, псевдоэллиптических и псевдогиперболических пространств.

Рассщепленная простая группа Ли класса Cn локально изоморфна группе симплектических преобразований (2n-1)-мерного симплектического пространства.

Компактная простая группа Ли класса Cn локально изоморфна группе движений (n-1)-мерного кватернионного эрмитова эллиптического пространства.

Остальные некомпактные вещественные простые группы Ли класса Cn локально изоморфны группам движений (n-1)-мерных кватернионных гиперболического, псевдоэллиптических и псевдогиперболических пространств.

Компактная простая группа Ли класса Dn локально изоморфна группе движений (n-1)-мерного вещественного эллиптического пространства.

Некомпактные простые группы Ли класса Dn локально изоморфны группам движений (2n-1)-мерных вещественных гиперболического, псевдоэллиптических и псевдогиперболических пространств и группе симплектических преобразований (2n-1)-мерного кватернионного симпектического пространства.

Классические простые группы Ли допускают также интерпретации в виде групп движений пространств над тензорными произведениями алгебр C, C', H и H'. В частности из того, что тензорное произведение двух полей C изоморфно прямой сумме этих полей, вытекает, что эрмитово эллиптическое пространство над тензорным произведением двух полей C допускает модель в виде пары комплексных эрмитовых эллиптических полей той же размерности. Из того, что тензорное произведение алгебр C и H изоморфно алгебре CM(2), вытекает, что n-мерное эрмитово эллиптическое пространство допускает модель в виде многообразия прямых линий (2n + 1)-мерного комплексного эрмитова эллиптического пространства. Из того, что тензорное произведение двух алгебр H изоморфно алгебре M(4), вытекает, что n-мерное эрмитово эллиптическое пространство над тензорным произведением двух алгебр H допускает модель в виде многообразия 3-мерных плоскостей (4n+3)-мерного вещественного эллиптического пространства. Эти модели были построены моими учениками Н.Т.Аббасовым и Л.В.Румянцевой.

Образы симметрии

Все вещественные и эрмитовы неевклидовы пространства, группы движений которых простые группы Ли, изометричны симметрическим римановым или псевдоримановым пространствам, поэтому точки этих пространств являются образами симметрии. Образами симметрии являются также 0-пары ( т.е. пары точка + гиперплоскость) проективных пространств и m-пары (т.е.пары n-m-1)-мерная плоскости n-мерного проективного пространства. Отражение точки Х от 0-пары, состоящей из точки А и гиперплоскости U, переводит точку Х в точку X' прямой АХ, являющуюся четвертой гармонической для точек А, Х и точки пересечения прямой АХ с гиперплоскостью U. Отражение точки Х от m-пары, состоящей из плоскостей А и U, переводит точку Х в точку X' единственной прямой, проходящей через точку Х и пересекающей плоскости А и U, которая является четвертой гармонической для точки Х и точки пересечения упомянутой прямой А с плоскостями А и U.

В неевклидовых пространствах, являющихся метризованными проективными, образами симметрии являются также m-мерные плоскости, при m = 1 прямые линии образующие вместе с плоскостями полярными относительно абсолютов m-пары.

При рассмотрении вещественных и эрмитовых неевклидовых пространств с простыми группами движений я всегда находил образы симметрии этих пространств. Особенно просто это в случае пространст с компактными группами движений, так как инволютивные движения, определяющие образы симметрии этих пространств, определяют также некомпактные группы с той же комплексной формой, что и компактная простая группа Ли. Замечу, что диаграммы Сатаке для некомпактных простых групп Ли первоначально применялись для изучения симметрических римановых пространств с некомпактными простыми группами движений. Эти симметрические пространства допускают интерпретации в виде многообразий образов симметрии неевклидовых пространств с компактными группами движений.

Образами симметрии неевклидовых пространств кроме точек и m- мерых плоскостей являются паратактические конгруенции и n-цепи. Паратактические конгруенции имеют место в (2n + 1)-мерных вещественных эллиптических и комплексных эрмитовых эллиптических пространствах, они состоят из заполняющих все пространство паратактичных прямых, т.е. прямых с равными стационарными расстояниями. Симметриями относительно этих конгруенций в случае вественных пространств являются сдвиги на полупрямую вдоль прямых конгруенции, а в случае комплексных пространст - переходы от точек прямых линий конгруенции к диаметрально противоположным точкам сфер изометричным этим линиям.

Нормаьные n-цепи имеют место в n-мерных комплексных и кватернионных эрмитовых эллиптических пространствах. Эти образы состоят из точек с соответственно вещественными или комплексными координатами или являются фигурами, получяемыми из этих образов движениями пространства. Симметрии относительно нормальных n-цепей определяются переходами от комплексных координат к комплексно сопряженным и от кватернионных координат вида a+bi+cj+dk к координатам вида a+bi-cj-dk. Нормальные n-цепи изометричны, соответственно, n-мерным вещественному эллиптическому и комплексному эрмитову эллиптическому пространствам.

В проективных просранствах имеются также образы косимметрии - гиперквадрики и линейные комплексы прямых, симметриями относительно которых являются полярные преобразования относительно этих образов.

Две m-пары проективного пространства в основном случае обладают m + 1 директрисами - прямыми пересекающими все четыре плоскости m- пар. Директрисы являются геометрическими ковариантами двух m-пар, а двойные отношения точек их пересечения с плоскостями m-пар - числовыми инвариантами n-пар.