Аналогичные эрмитовы неевклидовы пространства определяются над алгеброй C' двойных чисел и алгеброй H' псевдокватернионов. В отличие от пространств над полем С и телом Н в случаях алгебр C' и H' имеется только один вид эрмитовых неевклидовых пространств - эллиптические пространства ; n-мерные пространства этого типа изометричны 2n-мерным псевдоримановым пространствам индекса n и 4n-мерным псевдоримановым пространствам индекса 2n.

Над алгеброй С' двойных чисел можно определить такие же квадратичные пространства, как и над полем R, причем каждое из этих пространств над алгеброй C' допускает интерпретацию в виде пары одноименных вещественных пространств.

Геометрии пространств над полем C, телом H и алгебрами C' и H' посвящены 6 глава в моей книге 1955 г. и несколько глав в моей книге 1997 г. В этих главах описаны многие мои результаты и результаты моих учеников.

Группы Ли

Если группа явлается топологическим пространством и групповые операции являются гомеоморфными отображениями пространства на себя, такая группа называется топологической группой. Если топологическая группа является аналитическим многообразием, она называется группой Ли. В касательном пространстве в единице группы Ли определена операция коммутирования, ставящая в соответствие каждым двум векторам а и b их коммутатор [ab], причем выполняются условия [ab]=-[ba] и тождество Якоби [a[bc]]+[b[ca]]+[c[ab]]=0. Линейное пространство с такой операцией называется алгеброй Ли. Если из единицы е гроппы Ли выходит однопараметрическая подгруппа g(t), причем g(0)=e, g(t1+t2)=g(t1)g(t2), то за координаты вектора а алгебры Ли касательного к этой подгруппе можно принять производные координат элемента g(t) по t при t=0. Если подгруппам g(s) и h(t) соответствуют векторы а и b, то сумма a+b соответствует произведению g(s)h(t), a коммутатор [ab] cooтветствует произведению g(s)h(t)g(-s)h(-t).

Две группы Ли, алгебры Ли которых совпадают, называются локально изоморфными и алгебра Ли определяет группу Ли с точностью до локального изоморфизма.

Группа Ли называется простой, если она не содержит инвариантных подгрупп меньшей размерности. Группа Ли называется полупростой, если она не содержит разрешимых инвариантных подгрипп.

Алгебра Ли полупростой группы Ли изоморфна прямой сумме алгебр Ли нескольких простых групп Ли.

Всякая некоммутативная простая группа Ли полупроста.

Так как группа Ли является аналитическим многообразием, всякой вещественной группе Ли G соответствует комплексная группа Ли CG, являющаяся ее комплексной формой.

Топологическое пространство называется компактным, если из любого его покрытия открытыми множествами можно выделить конечное покрытие. Среди вещественных групп Ли с общей комплексной формой имеется одна (определенная с точностью до локального изоморфизма) компактная и несколько некомпактных групп. Комплексные группы Ли всегда некомпактны.

В алгебре Ли любой группы Ли можно определить квадратичную форму Ф Киллинга-Картана. Условием полупростоты группы Ли является невырожденность формы Ф. В случае компактных полупростых групп Ли форма Ф является отрицательно определенной, в случае некомпактных полупростых групп Ли форма Ф - знаконеопределенная. Если в последнем случае форма Ф приводится к алгебраической сумме N отрицательных и Р положительных квадратов, разность Р-N называется характером некомпактной полупростой группы. Форма -Ф определяет инвариантную метрику Картана в полупростой группе Ли, риманову в случае компактных групп и псевдориманову индекса Р в случае некомпактных групп. В любых группах Ли однопараметрические подгруппы этих групп и их классы смежности определяют инвариантную аффинную связность.

Элемент а алгебры Ли полупростой группы Ли называется регулярным, если множество элементов b этой алгебры, для которых [ab]=0, имеют наименьшую размерность. Эта наименьшая размерность называется рангом полупростой группы Ли. Указанное подмножество элементов алгебры Ли полупростой группы Ли, называется подалгеброй Картана этой алгебры, а коммутативная подгруппа группы Ли, соответствующая этой подалгебре, называется подгруппой Картана.

Если h - элемент подалгебры Картана Н алгебры Ли полупростой группы Ли G, а g - произвольный элемент этой алебры Ли, то коммутатор [hg] является векторной линейной функцией элемента g и может быть записан в виде Аg, где А - линейный оператор. Для всех элементов h соответственные операторы А имеют одни и те же собственные векторы, а собственные числа операторов А, соответствующих одному и тому же собственному вектору, являются линейными формами j =uh на линейном пространстве Н, где - u ковектор, определяющий линейную форму. Формы j называются корневыми формами группы G. Так как ковекторы u в случае евклидовой или псевдоевклидовой метрики в подалгебре Н, порождаемой метрикой Картана в группе G, можно рассматривать как векторы, то ковекторы u называют корневыми векторами группы G.

В случае, когда группа G компактна, ее корневые формы и корневые векторы чисто мнимы, и корневые векторы могут быть записаны в виде u = iv.

В случае, когда группа G некомпактна, ее корневые формы и корневые векторы могут быть вещественными, чисто мнимыми и комплексно сопряженными.

В случае, когда группа G некомпактна и все ее корневые векторы вещественны, группа называется расщепленной. Характеры расщепленных простых групп всегда равны рангам этих групп. Характеры компактных полупросных групп Ли равны произведениям размерностей этих групп на - 1.

Корневые векторы комплексных и компактных простых групп Ли образуют корневые системы, определяемые диаграммами Е.Б.Дынкина.

Корневые системы комплексных простых групп Ли всегда расположены в вещественном подпространстве подалгебры Картана. В этом подпространстве можно ввести систему координат и говорить, что вектор а больше вектора b, если из первых неравных координат этих векторов координата вектора а больше координаты вектора b. Вектор называется положительным или отрицательным, если он, соответственно, больше или меньше нулевого вектора. Согласно Дынкину корневой вектор называется простым, если он положителен и его нельзя представить в виде суммы двух положительных корневых векторов. Число положительных простых корневых векторов простой группы Ли всегда равно рангу группы.