Шрифт:
Однако, как мы увидим позже, многое говорит в пользу того, что будущее распределение цен будет нормальным. Когда мы покупаем или продаем опцион, предположение, что будущее распределение изменений цены базового инструмента будет нормальным, уже заложено в цену опциона. Точно так же можно сказать, что трейдеры, не использующие механические системы, получат в будущем результаты, которые нормально распределены.
В методе, описанном в этой главе, используются неприведенные данные. При использовании приведенных данных метод будет выглядеть следующим образом:
1. До того как данные нормированы, их следует привести к текущим ценам путем преобразования всех торговых прибылей и убытков в процентные прибыли и убытки с помощью уравнений с (2.10а) по (2.10в). Затем эти процентные прибыли и убытки следует умножить на текущую цену
2. Когда вы перейдете к нормированию этих данных, нормируйте приведенные данные, используя среднее и стандартное отклонение приведенных данных.
3. Далее, определите оптимальное f, среднее геометрическое и TWR. Средняя геометрическая сделка, средняя арифметическая сделка и порог геометрической торговли справедливы только для текущей цены базового инструмента. Когда цена базового инструмента изменяется, процедура должна быть проведена заново. Когда вы перейдете к повторному проведению процедуры с другой ценой базового инструмента, вы получите то же оптимальное f, среднее геометрическое и TWR. Однако средняя арифметическая сделка, средняя геометрическая сделка и порог геометрической торговли будут другими в зависимости от новой цены базового инструмента.
4. Количество контрактов для торговли, рассчитываемое с помощью уравнения (3.34), соответствующим образом изменится. P&L наихудшего случая, переменная W, используемая в уравнении (3.34), также изменится.
Из этой главы, мы узнали, как найти оптимальное f по распределению вероятности. Мы использовали нормальное распределение, так как оно описывает многие естественно происходящие процессы. Кроме того, с ним легче работать, чем со многими другими распределениями, так как можно рассчитать интеграл функции нормального распределения с помощью уравнения (3.21) [16] . Однако нормальное распределение зачастую является неполной моделью для распределения торговых прибылей и убытков. Какая модель будет приемлемой для наших целей? В следующей главе мы ответим на этот вопрос и будем полагаться на методы из главы 3 при работе с любым видом распределения вероятности независимо от того, существует интеграл функции распределения или нет.
16
Интеграл функции, описывающей нормальное распределение, в действительности нельзя точно рассчитать, но его можно получить с большой степенью точности с помощью уравнения (3.21), чего нельзя сказать о многих других распределениях
Глава 4
Параметрические методы для других распределений
Из предыдущей главы мы узнали, как найти оптимальное f и его побочные продукты при нормальном распределении. Тот же метод применим к любому другому распределению, где известна функция распределения вероятности (то есть интеграл плотности распределения вероятности). О многих известных распределениях и об их функциях распределения вероятности рассказано в приложении В.
К сожалению, большинство распределений торговых P&L плохо описываются функциями нормального и других распределений. В этой главе мы сначала обратимся к проблеме неопределенной природы распределения торговых P&L и далее изучим метод планирования сценария — естественное продолжение идеи оптимального/. Этот метод широко применяется и позволяет находить оптимальное f по ячеистым распределениям. Далее мы перейдем к следующей главе, посвященной опционам и одновременной торговле по нескольким позициям. Прежде чем смоделировать реальное распределение торговых P&L, мы должны найти метод сравнения двух распределений.
Тест Колмогорова-Смирнова (К-С)
Хи-квадрат тест, без сомнения, является наиболее популярным из всех методов сравнения двух распределений. Так как многие ориентированные на рынок приложения, помимо рассматриваемых в этой главе, часто используют хи-квадрат тест, то он описан в Приложении А. Однако для наших целей наилучшим методом будет тест К-С. Этот очень эффективный тест применим к неячеистым распределениям, которые являются функцией одной независимой переменной (в нашем случае, прибыль за одну сделку).
Все функции распределения вероятности имеют минимальное значение 0 и максимальное значение 1. То, как они ведут себя между ними, и отличает их. Тест К-С измеряет очень простую переменную D, которая определяется как максимальное абсолютное значение разности между двумя функциями распределения вероятности. Тест К-С достаточно прост. N объектов (в нашем случае сделок) нормируются (вычитается среднее значение, и полученная разность делится на стандартное отклонение) и сортируются в порядке возрастания. Когда мы проходим эти отсортированные и нормированные сделки, накопленная вероятность рассматриваемого количества сделок делится на N. Когда мы берем первую сделку в отсортированной последовательности с наименьшим стандартным значением, функция распределения вероятности (cumulative density function, далее — ФРВ) равна 1/N. Для каждого стандартного значения, которое мы проходим, приближаясь к наибольшему стандартному значению, к числителю прибавляется единица. В конце последовательности наша ФРВ будет равна N/N, или 1. Для каждого стандартного значения мы можем рассчитать теоретическое распределение. Таким образом, мы можем сравнить фактическую функцию распределения вероятности с любой теоретической функцией распределения вероятности. Переменная D, или статистика К-С (К-С statistic), равна наибольшему расстоянию между значением нашей фактической функции распределения вероятности и значением теоретического распределения ФРВ при этом же стандартном значении. При сравнении фактической ФРВ для данного стандартного значения с теоретической ФРВ для этого же стандартного значения мы должны также сравнить теоретическую ФРВ предыдущего стандартного значения с фактической ФРВ текущего стандартного значения.
Для того чтобы прояснить эту ситуацию, посмотрим на рисунок 4-1. Отметьте. что в точке А фактическая кривая находится выше теоретической. Поэтому мы сравниваем текущее значение фактической ФРВ с текущим теоретическим значением для нахождения наибольшей разности. Однако в точке В фактическая кривая находится ниже теоретической. Поэтому мы сравниваем предыдущее фактическое значение с текущим теоретическим значением. Идея состоит в том, что в результате мы выберем наибольшую разность.
Для каждого стандартного значения нам надо взять абсолютное значение разности между текущим значением фактической ФРВ и текущим значением теоретической ФРВ. Нам также надо взять абсолютное значение разности между предыдущим значением фактической ФРВ и текущим значением теоретической ФРВ. Повторив эту операцию для всех стандартных значений точек, где фактическая ФРВ делает скачок вверх на 1/N, и взяв наибольшую разность, мы определим переменную D.