R = текущая безрисковая ставка;

Т = доля года, оставшаяся до истечения срока исполнения, выражен­ная десятичной дробью.

Уравнение (5.11) является моделью ценообразования опционов для всех распре­делений и дает текущее значение арифметического математического ожидания опциона на дату истечения [22] . Отметьте, что модель можно использовать и для пут-опционов, имея в виду, что значения а. при каждом приросте цены i будут другими. Когда необходимо учесть дивиденды, используйте уравнение (5.04) для корректировки текущей цены базового инструмента. При определении вероятности цены i на дату истечения используйте именно эту измененную теку­щую цену. Далее следует пример использования уравнения (5.11). Допустим, мы обнару­жили, что приемлемой моделью, описывающей распределение логарифмов изме­нений цены товара, опционы на который мы хотим купить, является распределе­ние Стьюдента [23] . Для определения оптимального числа степеней свободы распре­деления Стьюдента мы использовали тест К-С и пришли к выводу, что наилучшее значение равно 5. Допустим, мы хотим определить справедливую цену колл-опциона на 911104 (дата истечения срока опциона — 911220). Цена базового инструмента равна 100, цена исполнения опциона также равна 100. Предположим, годовая волатильность составляет 20%, безрисковая ставка 5% и год равен 260,8875 дням (мы не учитываем праздники, которые выпадают на рабочий день, например День Бла­годарения в США). Далее допустим, что минимальный тик по этому предполага­емому товару равен 0,10. Используя уравнения (5.01), (5.02) и (5.07) для переменной Н, мы найдем, что справедливая цена равна 2,861 как для колл-опциона, так и для пут-опциона с ценой исполнения 100. Таким образом, эти цены опционов являются справедли­выми ценами в соответствии с моделью товарных опционов Блэка, которая до­пускает логарифмически нормальное распределение цен. Если мы будем исполь­зовать уравнение (5.11), то должны сначала рассчитать значения pg. Их можно по­лучить из фрагмента программы, написанной на языке Бейсик и представленной в приложении В. Отметьте, что необходимо знать стандартное значение, т.е. пере­менную Z, и число степеней свободы, т.е. переменную DEGFDM. Прежде чем мы обратимся к этой программе, преобразуем цену i в стандартное значение по сле­дующей формуле:

где i = цена, соответствующая текущему состоянию процесса суммиро­вания;

V = годовая волатильность, выраженная стандартным отклонением;

Т = доля года, оставшаяся до истечения срока исполнения, выражен­ная десятичной дробью;

1п = функция натурального логарифма.

Уравнение (5.12), написанное на БЕЙСИКе, будет выглядеть следующим образом:

Переменная U представляет собой текущую цену базового инструмента (с учетом дивидендов, если это необходимо). Вероятность для распределения Стьюдента, найденная с помощью програм­мы из приложения В, является 2-хвостой. Нам надо сделать ее 1-хвостой и выра­зить как вероятность отклонения от текущей цены (то есть ограничить ее 0 и 0,5). Это можно сделать с помощью двух строк на БЕЙСИКе:

Таким образом, для 5 степеней свободы справедливая цена колл-опциона равна 3,842, а справедливая цена пут-опциона равна 2,562. Эти величины отличаются от значений, полученных с помощью более традиционных моделей. Причин здесь несколько.

Во-первых, более толстые хвосты распределения Стьюдента с 5 степенями свободы дадут более высокую справедливую стоимость колл-опциона. Вообще, чем толще хвосты распределения, тем больше получается цена колл-опциона. Если бы мы использовали 4 степени свободы, то получили бы еще большую цену колл-опциона.

Стоимость пут-опциона и стоимость колл-опциона значительно отличаются, в то время как в традиционных моделях стоимость пут-опциона и колл-опциона эквивалентна. Этот момент требует некоторого пояснения.

Справедливую стоимость пут-опциона можно найти из цены колл-опциона с той же ценой исполнения и датой истечения (или наоборот) по формуле пут-колл паритета:

где Р = справедливая цена пут-опциона;

С = справедливая цена колл-опциона;

Е = цена исполнения;

U = текущая цена базового инструмента;

R = безрисковая ставка;

Т = доля года, оставшаяся до истечения срока исполнения, выражен­ная десятичной дробью.

Когда равенство (5.13) не выполняется, появляется возможность арбитража. Из (5.13) мы видим, что цены, полученные из традиционных моделей, эквивалент­ны, когда Е - U = 0.

Давайте заменим переменную U в уравнении (5.13) ожидаемой ценой базо­вого инструмента на дату истечения срока опциона. Ожидаемая стоимость ба­зового инструмента может быть определена с помощью уравнения (5.10) с учетом того, что в этом случае а. просто равно i. В нашем примере с DEGFDM = 5 ожидаемая стоимость базового инструмента равна 101,288467. Это происходит потому, что минимальная цена инструмента равна 0, в то время как ограничения цены сверху не существует. Движение цены со 100 до 50 так же вероятно, как и движение со 100 до 200. Следовательно, стоимость колл-опционов будет выше, чем стоимость пут-опционов. Неудивительно, что ожидаемая стоимость базового инструмента на дату истечения должна быть больше, чем его текущая цена, — это вполне согласуется с предположением об инфляции. Когда в уравнении (5.13) мы заменим значение U (текущую цену базового ин­струмента) на значение ожидаемой стоимости на дату истечения, мы сможем рассчитать справедливую стоимость пут-опциона:

Р = 3,842 + (100 - 101,288467) * ЕХР(-0,05 * 33/260,8875) = 3,842+-1,288467 *ЕХР(-0,006324565186) = 3,842 + -1,288467 * 0,9936954 = 3,842 + 1,280343731 =2,561656269

Это значение согласуется со стоимостью пут-опциона, полученной из уравнения (5.11).

Остается одна проблема: если пут-опционы и колл-опционы с одной ценой исполнения и сроком истечения оценены согласно уравнению (5.11), тогда суще­ствует возможность арбитража. На самом деле LJ в (5.13) является текущей ценой базового инструмента, а не ожидаемым значением базового инструмента на дату истечения. Другими словами, если текущая цена равна 100 и декабрьский колл-опцион с ценой исполнения, равной 100, стоит 3,842, а пут-опцион с ценой ис­полнения, равной 100, стоит 2,561656269, то существует возможность арбитража, исходя из (5.13).

Отсутствие паритета «пут-колл» при наличии наших заново полученных цен опционов предполагает, что вместо покупки колл-опциона за 3,842 нам следует открыть эквивалентную позицию, купив пут-опцион за 2,562 и базо­вый инструмент.

Проблема решится, если мы сначала рассчитаем ожидаемую стоимость базо­вого инструмента по уравнению (5.10) с учетом того, что аi просто равно i (в нашем примере с DEGFDM = 5 ожидаемая стоимость базового инструмента рав­на 101,288467), и вычтем текущую цену базового инструмента из полученного значения: 101,288467 - 100= 1,288467. Теперь, если мы вычтем это значение из каждого значения а., т.е. внутренней стоимости из (5.11), и примем любые по­лучившиеся значения менее 0 равными 0, тогда уравнение (5.11) даст нам теоре­тические значения, которые согласуются с (5.13). Таким образом, арифметичес­кое математическое ожидание по базовому инструменту заменит текущую цену базового инструмента. В нашем примере (распределение Стьюдента с 5 степе­нями свободы) мы получим стоимость пут-опциона и колл-опциона с ценой исполнения 100, равную 3,218. Таким образом, наш ответ согласуется с уравне­нием (5.13), и возможность арбитража между этими двумя опционами и их базо­выми инструментами отсутствует.

Когда мы используем распределение, которое основано на значениях ариф­метического математического ожидания базового инструмента на дату истече­ния и значение этого ожидания отличается от текущей стоимости базового ин­струмента, мы должны вычесть разность (ожидание - текущая стоимость) из внутренней стоимости опциона и приравнять нулю значения меньше нуля. Та­ким образом, для любой формы распределения уравнение (5.11) дает нам ариф­метическое математическое ожидание опциона на дату истечения, при условии, что арифметическое математическое ожидание по базовому инструменту равно его текущей цене (то есть направленное движение цены базового инструмента не предполагается).