Шрифт:
N = кумулятивная нормальная функция распределения вероятностей, задаваемая уравнением (3.21).
Для акций, по которым выплачиваются дивиденды, необходимо скорректировать переменную U и отразить текущую цену базового инструмента с учетом стоимости ожидаемых дивидендов:
где Ц = ожидаемая выплата дивиденда 1;
W. = время (доля года, выраженная десятичной дробью) до выплаты L
Модель Блэка-Шоулса позволяет точно рассчитать дельту, то есть первую производную цены опциона. Это мгновенная скорость изменения опциона по отношению к изменению U (цены базового инструмента):
(5.05) Дельта колл-опциона = N(H)
(5.06) Дельта пут-опциона = -N(-H)
Эти коэффициенты будут очень важны в Главе 7, когда мы будем рассматривать страхование портфеля.
.
Блэк сделал модель применимой к опционам на фьючерсы, механизм операций с которыми аналогичен операциям с акциями [20] . Модель ценообразования опционов на фьючерсы Блэка аналогична модели фондовых опционов Блэка-Шоулса за исключением переменной Н:
20
При торговле фьючерсами не требуется немедленной уплаты денежных средств за базовый актив, хотя необходимо уплатить залог. Кроме того, все прибыли и убытки реализуются немедленно, даже когда позиция не ликвидирована. Эти пункты находятся в прямом противоречии с механизмом сделок по акциям. При торговле акциями покупка требует полной и немедленной оплаты, а прибыли (или убытки) не реализуются, пока позиция не ликвидирована.
При использовании модели для фьючерсов коэффициент дельта рассчитывается следующим образом:
(5.08) Дельта колл-опциона = EXP(-R * Т) * N(H)
(5.09) Дельта пут-опциона =– EXP(-R * Т) * N(-H)
Для примера рассмотрим опцион, который имеет цену исполнения 600. Текущая рыночная цена базового инструмента равна 575, а годовая волатильность составляет 25%. Мы будем использовать модель опционов на фьючерсы, 252-дневный год и безрисковую ставку 0%. Далее мы допустим, что дата истечения опциона — 15 сентября 1991 года (910915), а текущая дата — 1 августа 1991 года (910801).
Сначала рассчитаем переменную Т, а затем преобразуем 910801 и 910915 в их юлианские эквиваленты. Для этого мы должны использовать следующий алгоритм.
1. Задайте переменные 1, 2 и 3, которые будут определять год, месяц и день, соответственно. Для нашего примера — это 1991, 8 и 1.
2. Если переменная 2 меньше 3 (январь или февраль), тогда переменная 1 будет равна значению года минус 1, а переменная 2 будет равна значению месяца плюс 13.
3. Если значение переменной 2 больше, чем 2 (март или дальше), тогда переменная 2 будет равна значению месяца плюс 1.
4. Задайте переменную 4, которая будет рассчитываться следующим образом:
5. Задайте переменную 5, которая будет равна целой части произведения числа 0,01 и переменной 1:
Математически:
V5=INT(0,01*V1)
6. Рассчитаем юлианскую дату:
Юлианская дата = V4 + 2 - V5 + INT(0,25 * V5) Преобразуем дату 910901 в юлианскую:
Шаг 1. VI = 1991, V2 = 8, V3 = 1.
Шаг 2. Так как наш месяц в этом примере идет за январем и февралем, то этот шаг не применяется.
Шаг 3. Так как этот месяц идет за январем и февралем, то получим:
V2 = 8 + 1 = 9. Шаг 4. Теперь найдем V4:
V4 = V3 + 1 720 995 + INT(365,25 * VI) + INT(30,6001 * V2) = 1 + 1 720 995 + INT(365,25 * 1991) + INT(30,6001 * 9) = 1 + 1 720 995 + INT(727 212,75) + INT(275,4009) =1+1720 995 + 727 212 + 275 = 2 448 483 Шаг 5. Далее найдем V5:
V5=INT(0,01*V1) =INT(0,01*1991) = INT(19,91) = 19 Шаг 6. Теперь получим юлианскую дату:
Юлианская дата = V4 + 2 - V5 + INT(0,25 * V5)
= 2 448 483 + 2 - 19 + INT(0,25 * 19) = 2 448 483 + 2 - 19 + INT(4,75) = 2 448 483 + 2 - 19 + 4 = 2 448 470
Таким образом, юлианская дата 1 августа 1991 года равна 2448470. Если мы преобразуем дату истечения опциона 15 сентября 1991 года в юлианскую, то получим 2448515. Если использовать 365-дневный год (или точнее 365,2425-дневный по григорианскому календарю), то, чтобы найти время, оставшееся до истечения срока, необходимо рассчитать разность между двумя юлианскими датами, затем вычесть единицу и полученное значение разделить на 365 (или 365,2425). Однако мы будем использовать не 365-дневный год, а 252-дневный, чтобы учесть только те дни, когда открыта биржа (будние дни минус праздники). Просмотрим каждый день между двумя юлианскими датами, чтобы понять, является он рабочим днем или нет. Мы можем определить, каким днем недели является юлианская дата, прибавив к ее значению единицу, разделив на 7 и взяв остаток. Остаток будет значением от 0 до 6, соответствуя дню недели от воскресенья до субботы. Таким образом, для 1 августа 1991 года, когда юлианская дата равна 2448470:
День недели = ((2 448 470 + 1) / 7) % 7 =2448471/% 7 = ((2 448 471/7) - INT(2 448 471 / 7)) * 7 =(349 781,5714-349 781)* 7 =0,5714*7 =4
Так как 4 соответствует четвергу, мы можем утверждать, что 1 августа 1991 года является четвергом.
Теперь просмотрим все дни до даты истечения срока опциона. Если мы учтем все рабочие дни между этими двумя датами, то придем к выводу, что между (и включая) 1 августа 1991 года и 15 сентября 1991 года 32 рабочих дня. Из полученного значения следует вычесть единицу, так как мы считаем первым днем 2 августа 1991 года. Таким образом, между 910801 и 910915 31 рабочий день. Теперь мы должны вычесть праздники, когда биржа закрыта. В США 2 сентября 1991 года является Днем Труда. Даже если вы живете в другой стране, биржа, где идет торговля по этому опциону, может находиться в США, и 2 сентября она будет закрыта, поэтому мы вычтем 1 из последнего результата. Таким образом, мы получим 30 торговых дней до истечения срока опциона. Разделим количество торговых дней до истечения срока на число дней в году. Так как мы используем 252-дневный год, то 30/252=0,119047619. Это и есть доля года, выраженная десятичной дробью, т.е. переменная Т.