Шрифт:
Следует иметь в виду, что формула (5.9.4) отличается, например, от формулы (3.4), описывающей аналогичный период, поскольку у этих формул разное число оцениваемых параметров.
На диаграмме, представленной на рис. 5.14, изображен график, наглядно показывающий характер структурных изменений в динамике курса доллара, произошедших во время кризиса 1998 г. В частности, здесь можно увидеть как структурный сдвиг, произошедший в августе 1998 г., так и первое, и второе структурные изменения наклона, имевшие место в сентябре и октябре 1998 г.
Американский экономист Д. Гуйарати для оценки структурных изменений в динамике тренда, происходящих в момент времени t*, предложил оценивать параметры следующего уравнения регрессии с фиктивными переменными:
Yt = а + b x Zt + с x t + d x (Zt x t) + е, (5.10)
где Yt — зависимая переменная; t — время;
а, b, с, d — параметры уравнения регрессии;
е — ошибка (остатки);
Zt — фиктивная переменная, которая при t < t' равна нулю, а при t >= t' равна единице.
Следовательно для момента времени t < t' мы получим следующее уравнение регрессии:
Zt= 0 => Y,= а + b x 0 + с x t + d x (0 x t) + e=>Yt = a+ c x t + e. (5.10.1)
Соответственно для момента времени t> f уравнение примет такой вид:
Zt= 1 => Yt = a+b x l+c x t + d x (1 x t) + е =>
=>Yt = (a+b) + (c+d) x t + e. (5.10.2)
Сравнив уравнение (5.10.1) с уравнением (5.10.2), нетрудно прийти к выводу, что при Zt= 1 свободный член уравнения а2=(а+ b), а коэффициент регрессии — c2x t = (c+d) x t. Соответственно при Zt= 0 свободный член уравнения а1 = а, а коэффициент регрессии — с1x t= с x t. Таким образом, параметр b можно рассматривать как разницу между а1 и а2, т. е. между свободными членами уравнений (5.10.1) и (5.10.2). В свою очередь параметр d следует рассматривать как разницу между c1 и с2, т. е. между коэффициентами регрессии уравнений (5.10.1) и (5.10.2). Следовательно, параметр b оценивает структурный сдвиг, а параметр d — структурное изменение наклона в уравнении регрессии, произошедшее в момент времени t'. Оценку параметров bud можно провести, решив уравнение регрессии, а затем оценив их значимость при помощи t-критерия Стьюдента.
Подробности по этой теме можно узнать, ознакомившись с соответствующей литературой [17] .
Таким образом, с помощью метода, предложенного американским экономистом Д. Гуйарати, нам удалось выяснить, что во временном ряде по ежемесячному курсу доллара, охватывающем период с июня 1992 г. по апрель 2010 г., после августовского дефолта 1998 г. произошли следующие структурные изменения: во-первых, в августе 1998 г. произошел структурный сдвиг; во-вторых, в сентябре 1998 г. имело место первое структурное изменение наклона (изменился коэффициент регрессии факторной переменной с лагом в два месяца); в-третьих, в октябре 1998 г. имело место второе структурное изменение наклона (изменился коэффициент факторной переменной с лагом один месяц).
17
См., например: Эконометрика. С. 327–334.
5.7. Построение статистической модели с оптимальным диапазоном интервального прогноза
А теперь посмотрим, подтвердит ли эти структурные изменения во временном ряде тест Чоу на точность прогноза. С этой целью проведем тестирование модели USDOLLAR = а x USDOLLAR(-l) + b x USDOLLAR(-2), построенной на основе данных за период с июня 1992 г. по апрель 2010 г. При этом проверять на наличие структурной стабильности будем такие месяцы, как июль — декабрь 1998 г. и январь 1999 г., поскольку тест Д. Гуйарати показал наличие структурных изменений в августе — октябре 1998 г., но для большей надежности мы решили несколько расширить этот временной диапазон.
В результате получилась табл. 5.16, согласно которой уровень значимости F– критерия и LR– статистики для июля — октября 1998 г. оказался равен нулю, что опровергает нулевую гипотезу о структурной стабильности временного ряда относительно тестируемых наблюдений. Кстати, на основе этого теста аналогичный вывод можно сделать и для всех наблюдений с августа 1992 г. по октябрь 1998 г. включительно; в то время как уровень значимости F– критерия и LR– статистики по итогам проведения теста Чоу на точность прогноза относительно ноября 1998 г. и остальных, более поздних наблюдений (за исключением января — февраля 2009 г., но этот факт мы рассматриваем как временное явление) будет выше 0,05. Отсюда можно сделать вывод, что нулевая гипотеза о наличии структурной стабильности в этой части временного ряда подтверждается, что совпадает с аналогичными результатами, полученными с помощью метода Д. Гуйарати.
Чтобы построить статистическую модель с приемлемым диапазоном интервального прогноза, попробуем — с учетом итогов теста Чоу на точность прогноза — исключить из расчетной базы данных период с июля 1992 г. по октябрь 1998 г. (включительно). После чего на основе рыночных данных с ноября 1998 г. по апрель 2010 г. с помощью модели USDOLLAR = а x USDOLLAR(-l) + b x USDOLLAR(-2) построим новое уравнение регрессии, вывод итогов которого представлен в табл. 5.17. Как нетрудно заметить, все переменные, включенные в это уравнение регрессии, оказались статистически значимыми (Prob. = 0). Далее эту модель будем называть нестационарной моделью с оптимизированным временным рядом, чтобы отличить ее от модели с полным временным рядом.