Высокая вероятность принципов механики является неким резервуаром, из которого происходит большое число специальных теорем общей системы. Так, все верифицирующие примеры теории маятника также верифицируют законы Ньютона. А поскольку законы Ньютона являются истинными, также истинны и теоремы о движении Луны, что подтверждают также и эксперименты с маятником.

По этой причине повторяющееся подтверждение законов Ньютона только в одной области, например в области движения планет, не является таким же хорошим основанием, как истинность меньшего числа этих законов, но в различных областях. Меньшее число примеров, которые при этом взяты из различных областей, считается более случайным и, следовательно, более репрезентативным, чем множество примеров, взятых только из одной области. Если в каждой из нескольких областей уже установлены методы отбора подходящих образцов, то любой пример, взятый из такой области, будет столь же хорош, как и любой другой. На продвинутой стадии развития теории ее вероятность уже не столь зависима от дополнительных верифицирующих примеров. На таком этапе вероятность истинности теории уже зависит от ее систематизирующих свойств по сравнению с конкурирующей теорией. Так, вероятность истинности теории относительности основывается не только на нескольких верифицирующих примерах, но также и на том, что данная теория позволяет унифицировать теории гравитации и электричества, так что примеры, верифицирующие данные теории по отдельности, аккумулировались для верификации самой теории относительности. Таким образом, теория относительности объясняет больше, чем теория Ньютона. Теория никогда не доказывается через опровержение всех ее логически возможных альтернатив. Однако если истинность теории не может быть доказана, она, тем не менее, может быть верифицирована на случайных примерах, взятых из следствий этой теории. Для целей науки верификация (которая осуществима на практике) имеет исключительную важность.

Таким образом, обсуждение вероятностного вывода с неизбежностью становится связанным с обсуждением природы научных гипотез. Важность гипотез для науки определяется той степенью, в которой они предполагают возможность организованного выведения из них следствий, применимых в качественно различных областях. Гипотеза, доступная для прямого опровержения или верификации, является в достаточной степени полезной как ориентир для анализа проблемы, изначально породившей исследование. Однако такая гипотеза не способствует организации широкого поля исследований. Если читатель положил не на то место ключи, то он может сформулировать гипотезу, согласно которой они находятся в костюме, который он надевал накануне. Данная гипотеза может быть верифицирована или опровергнута непосредственным образом при осмотре указанного костюма. Однако она совершенно не продуктивна для последующего поиска. Законы Ньютона, с другой стороны, представляют гипотезы, которые не могут быть проверены непосредственным образом. Однако они в высшей степени релевантны для унификации и направления наших исследований в самых разных областях. Несмотря на разрыв, разделяющий законы и наблюдаемые факты, законы Ньютона являются крайне вероятными в силу высокой частоты вероятности, с которой примеры из числа их возможных следствий подтверждаются в наблюдаемых явлениях. При этом различные специальные теоремы системы Ньютона, применяемые в разных областях, поддерживают друг друга. Подобно широко расставленным ножкам треножника ни одна теорема не может устоять сама по себе; однако, будучи частями системы, они не только поддерживают саму систему, но и помогают друг другу.

Резюмировать все сказанное мы можем следующим образом. Когда мы наблюдаем за химическими соединениями, мы исследуем область, в которой хорошо установлена некоторая гипотеза, например: все, что делает лакмусовую бумажку красной, является кислотой. Данная гипотеза согласуется со столь большим числом наблюдаемых фактов, что мы испытываем совершенно естественные колебания при мысли о формулировке альтернативной гипотезы, объясняющей причину изменения цвета лакмусовой бумажки. Дело в том, что может случиться так, что даже если такая новая гипотеза будет объяснять рассматриваемый нами случай, она, тем не менее, не будет объяснять то множество других случаев, которые удовлетворительно объяснялись изначально установленной гипотезой. Таким образом, обобщение о том, что новое соединение всегда будет проявлять свойства кислоты, столь хорошо сочетается с общим корпусом существующего знания, что все возможные альтернативные обобщения представляются настолько сомнительными, что мы естественным образом считаем установленное обобщение единственно возможным объяснением. Индуктивный аргумент, хоть и, строго говоря, не доказывает общего суждения, может, тем не менее, представить доказательство того, что это суждение обосновано лучше, чем все другие предлагаемые гипотезы.

Мы указали на центральную роль, которую играют подходящие образцы в установлении обобщений. Теперь следует вкратце рассмотреть способы получения подходящих образцов.

Начнем с искусственной иллюстрации. Представим урну, содержащую 6 шаров: 2 белых и 4 черных. Нам нужно извлечь 3 шара за один раз, запомнить их цвет, заменить их и продолжить процесс изъятия, хорошо перемешивая содержимое урны после каждого извлечения. Обозначим белые шары как w1, w2, а черные как Ь1, b2, Ь3, Ь4. Нам надлежит установить состав содержимого урны на основе анализа примеров так, чтобы при извлечении примера (w1w2b1) мы говорили: «Две трети шаров в урне – белые» и т. д.

Теоретически все двадцать приведенных ниже примеров возможны:

(w1w2b1), (w1w2b2), (w1w2b3)/ (w1w2b4) – 4 примера, в которых 2/з шаров являются белыми.

(w1b1b2), (w1b1b3), (w1b1b4), (w1b2b3), (w1b2b4), (w1b3b4), (w2b1b2), (w2b1b3), (w2b1b4), (w2b2b3), (w2b2b4), (w2b3b4) – 12 примеров, в которых 1/3 шаров – белые.

(b1b2b3), (b1b2b4), (b2b3b4), (b1b3b4) – 4 примера, в которых ни один из шаров не является белым.

Если каждый из этих примеров имеет ту же вероятность извлечения, что и все остальные, и если извлечения являются независимыми, то в случае очень большого количества извлечений 1/5 раз мы будем делать вывод о том, что две третьих шаров в урне являются белыми; 1/5 раз мы сделаем вывод о том, что все шары в урне являются черными; и 1/5 раз мы заключим, что одна треть шаров в урне – белые. Иными словами, мы придем к правильному заключению 3/5 раз, т. е. мы будем приходить к истинному суждению о количестве белых и черных шаров чаще, чем к ложному. Следовательно, если бы мы не знали состава содержимого урны и решили вывести его из примеров, то из приведенной иллюстрации видно, что, применяя указанную процедуру, при заданных условиях мы будем наталкиваться на истину чаще, чем на ложь.

Эффективность данного метода зависит от двух вещей.

1. Содержимое урны должно обладать некоторой определенной природой. Так, в урне должны содержаться шары различимых цветов, и соотношение белых цветов к черным также должно быть определенным.

2. Примеры должны выбираться произвольно, чтобы в долгосрочной перспективе можно было извлекать каждый из возможных примеров с одной и той же относительной частотой. Если выполняются данные условия, то указанный метод способен помочь нам установить приблизительный состав содержимого урны, поскольку этот метод является по своей сути самокорректирующим. Если бы мы выбрали пример, в результате которого заключили бы, что содержимое урны состоит только из черных шаров, то сам этот метод исправил бы наше суждение. Можно доказать, что если мы будем продолжать извлекать по три шара и число этих извлечений будет очень большим, то число примеров, указывающих на правильный состав содержимого урны, будет намного большим, чем число остальных примеров.

Этот тривиальный пример может послужить в качестве модели для общего процесса отбора подходящих образцов для широкого спектра случаев исследования природы. Сам процесс, разумеется, является гораздо более сложным и требует выполнения большого количества специальных условий (которые исследуются в прогрессивных исследованиях в области статистики). Отбор примеров заключается в вынесении суждения о том, что природа исследуемой совокупности такая же, как и природа рассматриваемого примера. Каждый проводимый нами эксперимент относительно связи свойств является одним примером из неисчерпаемого множества возможных экспериментов, которыми может исследоваться природа.

Следует, однако, отметить, что примеры, выбираемые из широкого класса явлений (large-scale samplings), позволяют получить лишь приблизительные заключения. Так, если большая совокупность объектов М (например, отдельных людей) обладает в пропорции r некоторым свойством q (например, умопомешательством), то тогда, в случае если нам бы понадобилось выбрать из нее сравнительно небольшое число объектов Р , эти объекты могли бы обладать свойством q в пропорции r '. К ак правило, r ' не будет равно r . Н о по мере того как мы будем извлекать примеры Р , число примеров, обладающих свойством q в пропорции, похожей на пропорцию исходной совокупности, будет расти. Следовательно, мы можем умозаключить: