Мы можем построить не только шкалу степеней веса. Мы также можем отыскать интерпретацию в терминах некоторой операции с предметами для утверждения, в котором говорится, например, о том, что один предмет весит в три раза больше другого. Такая интерпретация возможна, поскольку веса можно складывать. Физический процесс сложения заключается в помещении двух или более весов вместе на одну из сторон взвешивающего устройства. Теперь рассмотрим три предмета В, В\', В", которые являются одинаково тяжелыми, и положим их на одну сторону весов; на другую сторону мы положим предмет С так, чтобы было установлено равновесие. Тогда предмет С будет таким же тяжелым, как три предмета В, В\', В", взятые вместе, и его вес будет в три раза больше, чем вес каждого из трех предметов. Данная процедура может быть расширена для определения последовательности стандартных весов. В терминах данной процедуры можно осмысленно говорить, что один объект в n раз тяжелее или 1/n раз тяжелее другого объекта.

Однако мы пока еще недостаточно убедились в том, что числа, приписываемые подобным образом предметам, обладают всеми своими известными значениями. Мы показали, что вес, в отличие от тяжести, является суммируемым свойством. Нам нужно также показать, что числа, приписываемые весам, совместимы с самими собой, и сделать это придется опять с помощью эксперимента. Мы должны убедиться в том, что мы не допускаем ситуации, когда различные числа приписываются одним и тем же весам. Так, предположим, вес определенного объекта А рассматривается как определенная единица измерения или 1, и что мы с помощью этого процесса можем приписывать веса другим объектам так, что А2 будет обладать весом 2, А4 – весом 4, а А6 – весом 6. Можем ли мы быть уверены в том, что А2 и А4, будучи размещенными на одной стороне весов, окажутся на том же уровне, что и А6, если его поместить на противоположную сторону? Очень важно отметить, что мы не можем быть уверены в этом до тех пор, пока мы не проведем соответствующего эксперимента. Суждение о том, что 2 + 4 = 6, может быть доказано чисто арифметически без какого-либо эксперимента. Однако до тех пор, пока мы не проведем соответствующих экспериментов, мы не можем быть уверены в том, что физическая операция сложения весов согласуется с известными свойствами чисто арифметического сложения. Физическая операция сложения весов обладает обычными формальными свойствами арифметического сложения только в некоторых случаях, а не во всех: рычажные весы должны быть правильно сконструированы, стороны рычага должны быть одинаковой длины и т. д.

Метод измерения весов может использоваться также и для измерения других свойств. Длины, временные интервалы, площади, углы, электрический ток, электрическое сопротивление – все это может быть измерено сходным образом. Эти свойства являются суммируемыми: совмещая два объекта, обладающих одним и тем же свойством, мы получаем объект с увеличенной степенью этого свойства. Суммируемые свойства часто называются экстенсивными. Их можно измерять в соответствии с процессами, рассмотренными в данном параграфе. Такое измерение мы будем называть фундаментальным.

На данном этапе мы можем абстрактно сформулировать условия для измерения. Минимальные требования для использования чисел для измерения (в самом широком смысле этого слова) качественных различий представлены в первых двух условиях:

1. Если дан набор из n предметов, В1, В2… Вп, то мы должны расставить их в последовательность относительно данного качества так, чтобы между любыми двумя предметами имело место одно, и только одно, из следующих отношений: (a) Bi > Bj, (b) Bi < Bj (с) Bi = Bj. Знак «>» и обратный ему знак «<» обозначают отношение, на основе которого предметы могут выделяться как отличающиеся по степени изучаемого качества. Отношение > должно быть асимметричным.

2. Если Bi > Bj и Bj > Вк, то Bi > Вк. Это условие выражает транзитивность рассматриваемого отношения.

Данные два условия достаточны для измерения интенсивных качеств, таких, как температура или плотность. Они являются необходимыми, однако недостаточными для экстенсивного измерения. Для экстенсивного измерения нам нужен некоторый физический процесс сложения, обозначаемый знаком «+». Необходимо также экспериментально показать, что этот процесс обладает следующими формальными свойствами:

3. Если Ве + Bf= Вg, то Bf+Be = Вg.

4. Если Bi = Вi, то Bi + Bj > Вi '.

5. Если Bi = Вi и Bj = Вi ', то Bi + Bj = Вi '+ Вj '.

6. (Bi + Bj) + Bk = Bi + (Bj + Bk).

Измерение в строгом смысле возможно, только если выполнены все эти условия. Когда выполнены только первые два условия, бессмысленно делать утверждения, имплицирующие соблюдение всех шести условий. Когда мы утверждаем, что IQ одного человека равняется 150, а другого – 75, то все, что мы можем иметь в виду, – только то, что на определенной шкале для измерения интеллекта (требующей наличия специализированных способностей) один человек располагается «выше» другого. Бессмысленно говорить, что первый человек в два раза умнее или в два раза более развитый, чем другой, потому что не было открыто ни одной операции по сложению ума или развития, которая бы согласовывалась с последними четырьмя условиями, необходимыми для того, чтобы соответствующее утверждение было осмысленным.

Когда мы устанавливаем стандартную последовательность измерений для какого-либо качества, присущего предметам, мы измеряем любой другой пример данного качества, сравнивая его с каким-либо членом стандартной последовательности. Например, стандартная последовательность длин воплощена в платиновом метре, хранящемся в Париже при определенных физических условиях. Его более или менее точные дубликаты распространены по всему миру. Если кто-то захочет узнать длину некоего куска материи, он сопоставит этот кусок с мерой длиной в один метр или с измерительной линейкой. Таким образом, для оценки длины куска материи требуется непосредственное вынесение суждения о проведенном сравнении. Сходные процессы измерения имеют место и в случае других измеряемых качеств.

Однако измерения качеств редко осуществляются для измерения как такового. Их проводят для установления точных отношений между различными свойствами предметов. В лаборатории измерения проводятся для единственной цели – открытия количественных законов, связывающих физические свойства.

Рассмотрим один такой количественный закон. Большинство людей знакомо со свойством жидкостей и твердых тел, именуемым «плотностью». В общем, известно также и то, что именно плотность определяет их плавучесть в воде. Однако не всегда известно, каково отношение плотности к другим свойствам тела. Предположим, мы хотели бы измерить плотность следующих пяти жидкостей: бензина, спирта, воды, соляной кислоты, ртути. Мы можем считать одну жидкость, скажем, ртуть, более плотной, чем вода, если мы можем найти такое твердое тело, которое будет плавать на поверхности ртути и тонуть в воде. С помощью эксперимента мы можем показать, что плотность, определяемая таким образом, является асимметричным, транзитивным свойством и что поэтому жидкости могут быть расставлены в последовательность по увеличению плотности. В действительности порядок жидкостей будет таким же, как мы его записали выше. При этом мы обнаруживаем, что плотность не является суммируемым свойством жидкостей и что мы можем измерять ее только как интенсивное качество. Мы можем приписать числа 1, 2, 3, 4, 5 для обозначения положений жидкостей на шкале плотности. Как мы уже отмечали, данные числа являются случайными.