Рис. В-4. Запаздывание, обусловленное экспоненциальным усреднением.

На рис. В-4 показано запаздывание при экспоненциальном выравнивании для случая равномерно возрастающей переменной. Как видно из графиков, запаздывание должно быть равным постоянной времени T; это можно легко доказать, рассмотрев подобные треугольники:

где у является изменением среднего значения величины, изображенной на рисунке, и равно правой части уравнения B–1, которое так же отражает изменение значения средней величины. Поэтому величина Т, отображающая на рисунке запаздывание в получении среднего значения по сравнению с действительным, обязательно должна быть равна по величине постоянной времени в уравнении B–1.

Постоянное запаздывание, обусловленное экспоненциальным выравниванием, как это показано на рис. В-4, имеет место только в случае линейно изменяющихся входных данных. При нелинейных потоках информации запаздывание, связанное с выравниванием, будет определяться более сложно. Можно показать, что для синусоидально изменяющихся входных данных запаздывание никогда не превышает четверти периода колебания на входе.

При выравнивании поток информации искажается как по амплитуде, так и во времени. Характер искажений зависит от величины изменений, которые вносятся во входную информацию, от используемого типа выравнивания и объема выравнивания, который определяется видом и степенью нежелательных возмущений, существующих в информации. Почти все потоки информации выравниваются либо посредством формальных математических приемов, либо под воздействием психологических суждений, либо с использованием того и другого методов выравнивания, прежде чем они лягут в основу принимаемых решений. Запаздывания и усиления, обусловленные процессом выравнивания, как мы видели в части III, существенно влияют на динамическое поведение системы.

Даже в тех случаях, когда модель проигрывается при отсутствии помех (как это изображено на большинстве рисунков в части III), процессы выравнивания должны быть отражены в модели. Выравнивание, обусловленное присутствием помех, неизбежно проявляется как фильтр, искажающий желаемую информацию. Эти искажения должны быть отражены даже при отсутствии помех, если мы хотим, чтобы система была правильно отображена в модели.

Приложение C

ШУМЫ

При работе с моделями замкнутых информационных систем необходимо четко понимать природу и происхождение шумов. Функции принятия решений, которые мы можем сформулировать, объясняют только главные факторы, влияющие на основные потоки. Многочисленные явления возникают за пределами изучаемой системы. Как отмечалось ранее в приложении В, наличие шумов, то есть случайных явлений, требует выравнивания, сглаживания данных, что в свою очередь вызывает запаздывания. Как видно из рис. 13–20 и 15-5, шумы порождают такие возмущения, к которым система чувствительна. Специальное исследование показывает, что шумы ограничивают возможность прогнозирования будущего состояния системы.

В данной книге мы решили начинать построение моделей с рассмотрения непрерывных, свободных от помех потоков информации, решений и действий. После того как изучена динамика системы при отсутствии помех, шумы могут быть введены дополнительно с тем, чтобы показать влияние случайных явлений на поведение системы. Такой порядок изучения отличается от подхода, принятого при рассмотрении стохастических моделей, в которых решения сформулированы так, чтобы создать последовательности отдельных событий, статистическая вероятность свершения которых может определяться состоянием системы. Автор считает, что, изучая вначале систему, свободную от помех, можно легче понять, каким образом основная структура системы определяет ее действия.

Когда мы будем готовы ввести составляющую шума в решения системы, мы должны четко представлять методологию того, как выполнить эту работу. Как следует определять шумы? Какие характеристики шумов интересуют нас? Сигнал шума несет мощность в широкой полосе частот.

Известно множество различных категорий шумов. В физических науках термин «белый шум» применяется для описания непрерывной функции, которая характеризуется равномерным распределением энергии по всему спектру частот от нуля до бесконечности, а плотность распределения вероятностей удовлетворяет Гауссову распределению. Белый шум является непрерывным сигналом, имеющим бесконечную мощность источника, и он может иметь мгновенные значения бесконечно большими; значение его в данный момент ничего не говорит о его значении в следующий момент времени даже через бесконечно малый интервал времени.

Рис. С-1. Белый шум имеет постоянную величину мощности, отнесенной к интервалу частоты.

Говоря о постоянной спектральной плотности, как это имеет место в случае белого шума, мы подразумеваем, что мощность одинакова в любой полосе частот конечной ширины, независимо от того, где эта полоса расположена (см. рис. С-1). Например, в широкополосном электронном генераторе шумов была бы замерена одинаковая мощность после того, как мы пропустили шум через фильтр с полосой пропускания 1 тыс. гц, который перекрывал диапазон частот от 1 тыс. гц до 2 тыс. гц, и после того, как мы пропустили бы шум через фильтр с диапазоном частот от 1111 тыс. гц до 1112 тыс. гц. Следует отметить, что величина мощности шума в белом шуме определяется шириной полосы пропускания частот, а не отношением нижней границы частоты к верхней. В первом примере верхняя граница частоты полосы пропускания вдвое больше нижней границы. Во втором примере эта разница составляет менее 0,1 %. Мощность шума одинакова в каждой полосе частот одной и той же абсолютной ширины, но различна в полосах частот, измеряемых в октавах. (Октава представляет полосу частот, у которой верхняя граница вдвое больше нижней частоты.) Для источника белого шума мощность шума на октаву удваивается с каждой более высокой октавой (см. рис. С-2). Например, предположим, что 1 единица мощности замерена в октаве, перекрывающей диапазон от 1 тыс. гц до 2 тыс. гц. Тогда если шум исходит от источника белого шума, то в октаве с 2 млн. гц до 4 млн. гц будет заключено 2 тыс. единиц мощности.