Итак, Архимед нарисовал окружность, а затем построил два шестиугольника: один — вписанный в окружность, а другой — описанный вокруг нее, как указано на рисунке.

Одно это уже говорит нам, что значение числа должно лежать где-то между 3 и 3,46 — это можно определить, вычисляя периметры двух шестиугольников. Если принять диаметр окружности равным 1, то периметр внутреннего шестиугольника равен 3, что меньше, чем длина окружности, равная , что в свою очередь меньше, чем периметр внешнего шестиугольника, равный 32, то есть с точностью до двух десятичных разрядов — 3,46. (Архимед находил периметр внешнего шестиугольника, используя метод, который по сути был довольно канительным предшественником тригонометрии и который слишком сложен для того, чтобы здесь его приводить.) Итак,

Если теперь повторить вычисление, используя два правильных многоугольника с более чем шестью сторонами, то для получится более узкий интервал. Дело в том, что чем больше у многоугольника сторон, тем ближе его периметр к длине окружности, в чем можно убедиться, глядя на приведенный выше рисунок с двенадцатиугольником. Многоугольники ведут себя подобно стенам, смыкающимися вокруг , зажимая его снаружи и изнутри, между все более узких пределов. Архимед начал с шестиугольников, а в конце довел дело до многоугольников с 96 сторонами, что позволило ему вычислить следующим образом:

Это дает 3,14084 < < 3,14289 — точность в два десятичных разряда.

Шестиугольники Двенадцатиугольники

Однако охотники за числом не собирались на этом останавливаться. Все, что требовалось, дабы подобраться поближе к истинному значению этого числа, — это строить многоугольники со все большим числом сторон. Лю Хуэй, живший в Китае в III веке, применил сходный метод, используя площадь многоугольника с 3072 сторонами, и получил пять десятичных разрядов числа : 3,14159. Два столетия спустя Цзу Чунчжи и его сын Цзу Гэнчжи продвинулись дальше еще на одну цифру, до 3,141592, что потребовало многоугольника с 12 288 сторонами.

Грекам и китайцам мешали неуклюжие обозначения. Когда в конце концов математики стали применять арабские числительные с десятичной запятой, прежние рекорды тут же пали. В 1596 году голландский учитель фехтования Лудольф ван Цейлен, используя метод удвоения, дошел до многоугольника с 60 x 2 29сторонами и нашел значение с точностью до 20 десятичных знаков. Опус, в котором он напечатал свой результат, заканчивался так: «У кого есть охота, пусть подойдет ближе». Он продолжал вычислять и получил число с точностью до 32 и затем 35 десятичных знаков, каковые и были высечены на его надгробии. В Германии die Ludolphsche Zahl — число Лудольфа, или лудольфово число, — до сих пор допустимо в качестве названия числа .

В течение двух тысяч лет единственный способ определить значение числа состоял в использовании многоугольников.

Но в XVII веке Готфрид Лейбниц и Джон Грегори открыли новую страницу в истории числа ,предложив формулу

Другими словами, четвертая часть равна единице минус одна треть плюс одна пятая минус одна седьмая плюс одна девятая и т. д.: надо попеременно прибавлять и вычитать дроби с единичным числителем и со знаменателем, последовательно равным нечетным числам, устремляющимся в бесконечность. До этого ученые видели в десятичном разложении числа лишь случайный набор цифр. И вдруг появилось одно из наиболее изящных, ничем не усложненных уравнений во всей математике. Оказалось, что образцовый представитель беспорядка несет некий порядок в своей ДНК.

Лейбниц пришел к этой формуле, используя «анализ» — мощный раздел математики, в котором для вычисления площадей, кривых и наклонов стали применяться новые представления о бесконечно малых величинах. Формула Лейбница представляет собой так называемый бесконечный ряд — сумму, которая продолжается и продолжается без конца. И эта формула дает способ вычислить число . Для начала нам надо умножить обе ее части на 4:

Начав с первого члена и прибавляя один за другим остальные, получаем следующую последовательность (записанную в виде десятичных дробей):

Сумма подходит к числу все ближе и ближе, а результат скачет все меньше и меньше. Тем не менее этот метод требует более 300 членов, чтобы ответ имел точность в два десятичных знака, так что он практически непригоден для тех, кто желает найти большее число цифр в десятичном разложении числа .

В конце концов с помощью анализа удалось получить другие бесконечные ряды для ,менее симпатичные на вид, но более эффективные для действий с числами. В 1705 году астроном Абрахам Шарп применил такой ряд для вычисления с точностью до 72 десятичных знаков, сокрушив продержавшийся столетие рекорд ван Цейлена, составлявший 35 знаков. Да, это было достойным достижением, но в нем было мало пользы. Решительно нет никаких практических причин для того, чтобы знать число с точностью до 72 знаков, да, впрочем, и до 35 тоже. Инженерам, имеющим дело с прецизионными инструментами, вполне хватает четырех десятичных знаков, а чтобы вычислить длину окружности Земли с точностью до долей сантиметра, достаточно десяти знаков. Если взять 39 десятичных разрядов, то окажется возможным посчитать длину окружности, охватывающей всю известную нам Вселенную, с точностью порядка радиуса атома водорода. Дело, однако, было вовсе не в практической целесообразности — отнюдь не практические соображения двигали учеными эпохи Просвещения, одержимыми вычислением числа .Цель охоты за цифрами заключалась в самой охоте, это было романтическое приключение. Через год после предпринятых Шарпом усилий Джон Мэчин добился точности в 100 знаков, а в 1717 году француз Тома де Ланьи прибавил к ним еще 27. К началу следующего столетия вперед вырвался Юрий Вега из Словении со своими 140 знаками.

В 1844 году, с головой погрузившись в работу на два месяца, немецкий молниеносный эстрадный вычислитель Захария Дазе отодвинул рекорд вычисления числа до отметки 200 десятичных знаков. Дазе использовал ряд, который хотя на вид и сложнее, чем приведенная выше формула для , но на самом деле гораздо удобнее в употреблении. Во-первых, потому что он сходится к с неплохой скоростью. Точность в два десятичных знака достигается уже после первых девяти членов. Во-вторых, с дробями 1/ 2, 1/ 5и 1/ 8, которые все время появляются в каждом третьем члене, удобно иметь дело. Если записать 1/ 5как 1/ 10, a 1/ 8— как 1/ 2x 1/ 2x 1/ 2, то все необходимые действия с этими членами можно свести к комбинациям удвоения и взятия половины. Дазе выписал справочную таблицу, к которой обращался в ходе вычислений, начиная с 2, 4, 8, 16, 32 и далее по мере надобности. Поскольку он выполнял вычисления числа с точностью до 200 знаков, полученное в самом конце удвоение будет иметь 200 цифр в длину. Это происходит после 667 последовательных удвоений.