Вуаля! Сумма равна 1089 — и секрет фокуса раскрыт.

Элемент неожиданности в «фокусе 1089» состоит в том, что, какое бы число мы случайно ни выбрали, в ответе всегда получается одно и то же. Алгебра позволяет увидеть то, что скрыто за ловкостью рук, указывая путь, ведущий от конкретного к абстрактному, то есть предлагая следить не за поведением отдельного числа, а за поведением любого,произвольного числа. Это незаменимое средство, причем не только в математике. Другие науки также полагаются на язык уравнений.

В 1621 году во Франции вышел латинский перевод Диофантова шедевра «Арифметика». Новое издание оживило интерес к античным методам решения задач и в сочетании с усовершенствованными числовыми и буквенными обозначениями распахнуло двери в новую эру математического мышления. «Арифметика» Диофанта стала настольной книгой Пьера де Ферма [36] (1601–1665), тулузского судьи и страстного математика-любителя, исписавшего поля всех ее страниц своими комментариями. В частности, рядом с разделом, где говорилось о Пифагоровых тройках — любых натуральных числах а, bи с, таких что а 2+ b 2= с 2(например, 3, 4 и 5), — Ферма отметил, что невозможно подобрать такие значения а, bи с, чтобы выполнялось равенство а 3+ b 3= с 3. Не смог он найти и значения а, bи с, для которых было бы верно а 4+ b 4= с 4.В результате Ферма написал — там же, на полях «Арифметики», — что для всякого числа n,превышающего 2, невозможно найти значения а, bи с,которые удовлетворяли бы уравнению а n+ b n= c n. «У меня имеется поистине чудесное доказательство, однако эти поля слишком узки для него», — написал он. Ферма так и не представил своего доказательства — чудесного или уж как получится, — даже когда узость полей его более не стесняла. Заметки Ферма на полях «Арифметики» отчасти указывают на то, что доказательство ему было известно, или же он сам уверовал, что его знает, а может, просто решил подзадорить публику. Во всяком случае, его нахальное заявление оказалось невероятной силы приманкой для многих поколений математиков, а само утверждение, вошедшее в науку как Великая теорема Ферма, оставалось самой знаменитой нерешенной задачей в математике до 1995 года, когда ее наконец продавил британец Эндрю Уайлс. Алгебра бывает обманчиво скромной в подобных ситуациях — она позволяет легко сформулировать задачу, которую решить оказывается совсем не легко. Вот и доказательство теоремы Ферма, предложенное Уайлсом, столь сложно, что, судя по всему, его понимают не более пары сотен человек во всем мире.

Прогресс в математических обозначениях сделал возможным открытие новых концепций. Невероятно важным изобретением стали логарифмы, придуманные в начале XVII столетия выдающимся шотландским математиком Джоном Непером (1550–1617) — бароном, восьмым лэрдом Мерчинстона, который, впрочем, прижизненно был куда более знаменит своими работами по теологии. Непер написал имевшую огромный успех книгу — толкование Апокалипсиса, — где утверждал, что папа есть Антихрист, и предсказывал, что конец света наступит между 1688 и 1700 годами. По вечерам он любил облачаться в длинное платье и разгуливать за пределами своего родового замка, что немало способствовало его репутации чародея. Кроме того, он экспериментировал с удобрением почвы на своих обширных владениях близ Эдинбурга, а также предложил несколько изобретений, касающихся военной техники, например металлическую колесницу, движимую находящимися внутри нее воинами, которые будут «поражать врагов во все стороны через маленькие отверстия в корпусе колесницы», и устройства для «плавания под водой, с ныряльщиками и иными хитрыми приспособлениями для внезапного нападения на врага» — предшественников танка и субмарины. Занимаясь математикой, Непер популяризировал применение десятичной запятой, а кроме того предложил идею логарифмов, изобретя и сам термин как производное от греческих слов logosи arithmos— «относительное число».

Пожалуйста, не пугайтесь, прочитав следующее определение: логарифм числа есть показатель степени в выражении данного числа в виде степени числа 10.Логарифмы проще понять, если выразить их алгебраически: если а= 10 b,то логарифм числа аравен b.Итак:

Нахождение логарифма числа — дело самоочевидное, если число это выражено как произведение десяток. Но как быть, если надо найти логарифм числа, которое не есть произведение десяток? Например, каков логарифм числа 6? Логарифм числа 6 — это число, показывающее, сколько раз 10 надо умножить само на себя, чтобы в результате получилось 6. Однако же кажется совершенно лишенным смысла говорить о том, что умножение числа 10 само на себя определенное число раз даст 6. Как можно умножить 10 само на себя дробное число раз? Конечно, вся идея и правда лишена смысла, когда мы пытаемся себе представить, что она могла бы означать в реальном мире, но мощь и красота математики в том и состоят, что нет нужды беспокоиться о каком бы то ни было смысле, выходящем за пределы алгебраических определений.

Логарифм числа 6 равен 0,778 с точностью до трех десятичных разрядов. Другими словами, когда мы умножим 10 само на себя 0,778 раз, мы получим 6 [37] .

Приведем список логарифмов чисел от 1 до 10, оставляя в каждом логарифме по три десятичных знака:

Так в чем же суть логарифмов? Логарифмы превращают более сложную операцию умножения в более простую — сложение. Точнее говоря, умножение двух чисел эквивалентно сложению их логарифмов. Если Xx У= Z, то lg X +lg Y= lg Z.

Проверим это, используя приведенную таблицу значений:

Еще раз:

Поэтому для того, чтобы перемножить два числа, можно использовать следующий метод: превратим заданные числа в их логарифмы, сложим эти логарифмы, а полученный «третий» логарифм снова превратим в число. Чему, например, равно 2 x 3? Находим логарифмы чисел 2 и 3, равные 0,301 и 0,477, и, складывая их, получаем 0,788. Как мы видели из приведенного списка значений логарифмов, 0,788 есть логарифм числа 6. Итак, ответ равен 6.