Декарт полагал, что эти числа еще хуже, чем отрицательные, он придумал презрительное наименование для квадратных корней из отрицательных чисел: мнимые числа. Название прижилось, и со временем символ для корня квадратного из –1 стал обозначаться как i.

Алгебраисты i обожали, а почти все остальные ненавидели. Это был прекрасный инструмент для решения полиномов — выражений типа x3 + 3x + 1, куда входили разные степени x. На самом деле стоит включить i в область чисел, и любой полином делается решаемым; х2 + 1 неожиданно разлагается на (x — i ) (x + i), и корнями уравнения оказываются +i и –i. Кубические полиномы типа x3 — x2 + x — 1 разлагаются на три сомножителя, такие как (x — 1)(x + i) (x — i). Выражения четвертой степени, первый член которых имеет вид x4, и пятой степени — с первым членом вида x5 — разлагаются соответственно на четыре и пять сомножителей. Все полиномы степени n — имеющие член вида xn — разлагаются на n отдельных сомножителей. Это основная теорема алгебры.

Уже в XVI веке математики использовали числа, включающие i: так называемые комплексные числа — для решения кубических уравнений и уравнений четвертой степени. Хотя многие математики рассматривали комплексные числа как удобную фикцию, другие видели в них Бога.

Лейбниц полагал, что i — странная смесь существования и несуществования, что-то вроде гибрида между 1 (Богом) и 0 (пустотой) в его бинарной схеме. Лейбниц уподоблял i Святому Духу: оба обладают эфемерным и едва ли материальным существованием. Однако даже Лейбниц не осознавал того, что i в конце концов откроет связь между нолем и бесконечностью. Потребовалось два важных открытия в математике, прежде чем была открыта истинная зависимость.

Первое открытие — проективная геометрия — родилось в суматохе войны. В 1700-е годы Франция, Англия, Австрия, Пруссия, Испания, Нидерланды и другие государства соперничали на европейской арене. Союзы снова и снова возникали и распадались, происходили территориальные стычки из-за колоний, страны стремились к господству в торговле с Новым Светом. Всю первую половину XVIII столетия Франция, Англия и другие страны враждовали, и примерно через четверть века после смерти Ньютона разразилась полномасштабная война. Франция, Австрия, Испания и Россия противостояли Англии и Пруссии.

В 1763 году Франция капитулировала, и Семилетняя война (официальному ее объявлению предшествовали два года сражений) закончилась. Победа сделала Англию преобладающей силой в мире, но далось это дорогой ценой. И Франция, и Англия были истощены и в долгах, следствием этого для обеих стран стали революционные потрясения. Немногим более чем через десятилетие после окончания Семилетней войны началась война за независимость американских колоний, лишившая Англию ее богатейших заморских владений. В 1789 году, как раз когда Джордж Вашингтон возглавил вновь образованные Соединенные Штаты, началась Французская революция. Через четыре года революционеры обезглавили короля Франции.

Математик Гаспар Монж подписал постановление революционного правительства о казни короля. Монж был превосходным геометром, специализировавшимся в стереометрии. Его заслугой было то, как архитекторы и инженеры изображали здания и машины: они создавали проекции сооружений на горизонтальную и вертикальную плоскости, сохраняя таким образом всю информацию, необходимую для создания объекта. Работы Монжа были так важны для армии, что значительная их часть была засекречена сначала революционным, а затем пришедшим ему на смену наполеоновским правительством.

Жан-Виктор Понселе был учеником Монжа, осваивавшим трехмерную геометрию в качестве инженера наполеоновской армии. К своему несчастью, Понселе оказался в армии, как раз когда Наполеон в 1812 году вступил в войну с Россией.

При отступлении от Москвы наполеоновская армия была почти полностью уничтожена жестокой русской зимой и не менее жестокой русской армией. После сражения под Красным Понселе, которого сочли убитым, остался на поле боя. Он был жив и попал в плен к русским. За время пребывания в плену Понселе создал новую дисциплину: проективную геометрию.

Математика Понселе была кульминацией работы, начатой художниками и архитекторами в XV веке — Филиппо Брунеллески и Леонардо да Винчи, которые обнаружили, как рисовать реалистично, используя перспективу. Когда все «параллельные» прямые сходятся в единственной точке на картине, зрителя заставляют верить, что они никогда не встретятся. Квадраты на полу на рисунке делаются трапециями, каждый предмет мягко искажается, но все выглядит совершенно естественным.

Таково свойство бесконечно удаленной точки — ноля в бесконечности.

Иоганн Кеплер, ученый, открывший, что планеты движутся по эллиптическим орбитам, распространил эту идею — идею бесконечно удаленной точки — еще на один шаг вперед. Эллипсы имеют два фокуса; чем более удлиненным является эллипс, тем дальше отстоят друг от друга фокусы. Все эллипсы обладают одним и тем же свойством: если бы у вас оказалось зеркало эллиптической формы и вы поместили в один из фокусов лампочку, все световые лучи сошлись бы в другом фокусе, вне зависимости от того, насколько вытянут был бы эллипс (рис. 29).