Шрифт:
Для кривой 1 / x сингулярностью является точка x = 0. Это очень простой вид сингулярности, которую математики называют полюсом. Существуют и другие виды сингулярности, например, для кривой sin (1 / x) точка x = 0 — существенно особая точка. Существенно особые точки — странные твари, рядом с сингулярностью такого сорта кривая делается абсолютно безумной. Она колеблется вверх и вниз все быстрее и быстрее по мере приближения к сингулярности, мечется от положительных значений к отрицательным и обратно. Даже в самой малой окрестности сингулярности кривая принимает почти все вообразимые значения снова и снова. Однако как бы странно эти функции не вели себя вблизи сингулярности, они больше не являлись тайной для математиков, которые учились вскрывать бесконечность.
Главным анатомом бесконечности был Георг Кантор. Хотя он в 1845 году родился в России, большую часть жизни Кантор провел в Германии. И именно в Германии — стране Гаусса и Римана — были открыты секреты бесконечности. К несчастью, Германия была также родиной Леопольда Кронекера, математика, который загнал Кантора в психиатрическую больницу.
В основе конфликта Кантора с Кронекером лежало представление о бесконечности, представление, которое может быть проиллюстрировано простой загадкой. Представьте себе большой стадион, полный людей. Вам нужно узнать, больше ли на стадионе мест, чем зрителей, или их число одинаково. Вы могли бы пересчитать людей и узнать, сколько имеется мест, и потом сравнить количества, однако это заняло бы много времени. Есть гораздо более разумный способ. Просто попросите всех присутствующих сесть. Если останутся незанятые места, значит, людей меньше, чем мест. Если какое-то количество людей останется стоять, значит, мест слишком мало. Если все места окажутся заняты и никто не останется стоять, то число зрителей и мест одинаково.
Кантор обобщил этот прием. Он сказал, что два числовых множества чисел имеют одинаковую мощность, если один набор «садится» на другой набор — по одному числу на одно число другого набора — и не остается излишка. Например, рассмотрим набор {1, 2, 3}; он имеет ту же мощность, что и {2, 4, 6}, потому что мы можем создать точный паттерн «рассадки»: все числа «сидят», и все «места» заняты.
Однако это не так с набором {2, 4, 6, 8}, потому что 8 оказывается пустым «местом»:
Дело приобретает особенно интересный характер, когда у вас имеется бесконечное множество. Рассмотрим множество всех чисел {0, 1, 2, 3, 4, 5…}. Очевидно, что оно равномощно самому себе: можно каждое число просто «посадить» на самого себя.
Здесь нет никакой уловки. Каждое множество, очевидно, равно (и равномощно) самому себе. Но что случится, если мы начнем убирать числа из набора? Например, что будет, если мы уберем ноль? Как ни странно, устранение ноля совсем не изменит размер мощности множества. Несколько изменив «рассадку», мы можем обеспечить, чтобы у всех было место и все места были заняты.
Набор остался той же мощности, несмотря на то, что мы из него кое-что убрали. На самом деле из набора целых чисел мы можем убрать бесконечное количество элементов — можем исключить, например, нечетные числа — мощность множества останется неизменной. Все по-прежнему имеют места, и каждое место занято.
Это есть определение бесконечного: это нечто, что может оставаться той же мощности, даже если вы из него что-то вычтете.
Четные числа, нечетные числа, целые числа — все эти множества имеют одинаковую мощность, размер, которую Кантор обозначил как
Однако, как было известно Пифагору, рациональные числа вовсе не заполняют все под солнцем. Рациональные и иррациональные числа в совокупности составляют так называемые вещественные числа. Кантор открыл, что множество вещественных чисел много больше множества рациональных чисел. Его доказательство было очень простым.
Представьте себе, что у вас имеется идеальный план «рассадки» вещественных чисел: каждое вещественное число имеет место, и каждое место занято. Это означает, что мы можем сделать список мест с указанием номера места одновременно с тем вещественным числом, которое на нем сидит. Например, наш список мог бы выглядеть примерно так:
Место . . . . . . . . . . Вещественное число
1 . . . . . . . . . . . . . . 3125123…
2 . . . . . . . . . . . . . . 7843133…
3 . . . . . . . . . . . . . . 9999999…
4 . . . . . . . . . . . . . . 6261000…
5 . . . . . . . . . . . . . . 3671123…
и т.д. . . . . . . . . . . .и т.д.
Уловка удалась, когда Кантор создал вещественное число, которого не было в списке.
Посмотрите на первую цифру первого числа в списке. В нашем примере это 3. Если бы наше новое число было равно первому числу в списке, его первой цифрой тоже было бы 3, но мы с легкостью можем воспрепятствовать этому. Давайте просто скажем, что наше новое число начинается с цифры 2. Поскольку первое число в списке начинается с 3, а новое число — с 2, мы знаем, что эти числа различны. (В строгом смысле слова это не так. Число 3,00000… равно числу 2,99999…, поскольку существует два способа записи многих рациональных чисел. Однако это мелочь, которую легко преодолеть. Для ясности мы проигнорируем это исключение.)