Шрифт:
Выражение (3.1) при этом приобретает следующий вид:
где
Вовлечение Е в форме (3.2) при записанных выше постоянных значениях коэффициента а уже учитывает неоднородность плотностей окружающей среды и струи и очевидно вполне приемлемо для лабораторных практически штилевых условий, но оно не зависит от динамических и метеорологических характеристик атмосферного воздуха, которые существенно влияют на турбулентный захват струей внешней среды, и поэтому не пригодно для описания процессов в реальной атмосфере. Зависимость вовлечения при такой записи от динамической активности внешней среды отсутствует и поэтому «одна из основных задач теории турбулентности» (как отмечается в [11]) пока остается не решенной до конца. Для ее решения следует положить С, переменным — связанным интегрально с пульсационными параметрами атмосферы.
Сохраним форму записи (3.2), предполагая однако, что С, (или а) не константа, а некоторый параметр, зависящий от степени турбулентности атмосферы или иначе от ее устойчивости. По классификации Пасквилла [15,50] атмосфера по характеру устойчивости может быть подразделена на 7 градаций или классов (А, В, С, D, Е, F, G), причем каждому классу можно поставить в однозначное соответствие угол расширения турбулентной струи. Докажем, что в такой постановке С, зависит от турбулизации атмосферы, т. е. от коэффициента расширения потока к.
Не нарушая общности, рассмотрим струйный поток плотности с круглого поперечного сечения, распространяющийся со скоростью V в неподвижной среде плотности ре. Как известно, он имеет вид расширяющегося прямоугольного конуса с переменным углом расширения = arc tg k (в случае неизотропного потока углы его расширения
z = ['2]1/2 в направлении оси Z
и у = ['2]1/2 в направлении оси Y,
где
' и ' — пульсации угла вектора скорости в вертикальной плоскости вдоль соответствующих направлений).
Будем вести рассмотрение элементарного газового объема струи, ограниченного нормальными к оси поперечными сечениями «1» и «2» и боковой поверхностью (Рис. 3.2).
Рис. 3.2. Схема вертикального осевого сечения элементарного газового объема струи (на верхнем рисунке заштрихован): «1» и «2» — контрольные сечения, ограничивающие элементарный газовый объем; 3 — приращение газового объема при движении потока от сечения «1» к сечению «2»; 4 — неизотермическая струя.
Так как длина контрольного объема l — мала, то внешнюю его поверхность, контактирующую с воздухом окружающей среды, можно считать прямолинейной конической. Ее образующая на этом рисунке — линия cd.
Вычислим увеличение объема струи Av при ее развитии от сечения «1» к сечению «2». Из рисунка видно, что
Введем среднее или текущее значение радиуса усеченного конуса R и приращение радиуса AR по формулам:
< image l:href="#"/>Из решения системы алгебраических уравнений относительно переменных R и AR получаем:
R2=R + R/2; R1 = R — R/2. (3.8)
Вычислим выражение в квадратных скобках (3.6) при учете соотношений (3.8). Получаем:
R22 — 2R1 + R1Ra = 3RR (1– R/6R). (3.9)
Так как для развитого турбулентного потока R /R < 1, то R / 6R << 1 и вторым членом в скобках правой части (3.9) можно пренебречь по сравнением с 1. При этом объем кругового конического кольца v записывается так:
v RRI. (3.10)
Преобразуем эту формулу при учете следующих геометрических соотношений:
S = R2; k = tg = R/I.
Получаем
В этом соотношении:
S — площадь поперечного сечения контрольного газового элемента в некотором текущем или среднем сечении.
Масса кругового конического кольца с образующей cd находится из уравнения
M = р (3.12)
где
Так как AM в точности равна массе поступившего в струю вещества за счет вовлечения окружающего воздуха на пространственно-временном интервале l t:
M = Е I t, (3.13)
то подставив в (3.13) вместо Е его выражение из (3.2), а вместо скорости его значение через дифференциалы I и t, получаем
Приравнивая AM из (3.12) и (3.13а), получаем: