Плоскость Аргана представляет собой обычную евклидову плоскость со стандартными декартовыми координатами x и y , где x обозначает расстояние по горизонтали (положительное вправо и отрицательное влево), а у — расстояние по вертикали (положительное вверху и отрицательное внизу). В этом случае комплексное число z = х + iy представляется точкой на плоскости Аргана с координатами ( x , y ) (рис. 3.8).

Обратите внимание, что число 0 (рассматриваемое как комплексное число) соответствует началу координат, а число 1 — одной из точек на оси х .

Плоскость Аргана есть просто способ геометрически наглядной организации семейства комплексных чисел. Такое представление не является для нас чем-то совершенно новым. Мы уже знакомы с геометрическим представлением действительныхчисел — в виде прямой линии, простирающейся на неограниченное расстояние в обоих направлениях. Одна из точек обозначена как 0 , а еще одна — как 1 . Точка 2 смещена относительно точки 1 равно настолько, насколько точка 1 смещена относительно точки 0 ; точка 1/2 расположена в точности посередине между точками 0 и 1 ; точка – 1расположена так, что точка 0 находится в точности посередине между точками – 1и 1 , и т. д., и т. п. Отображенное таким образом множество действительных чисел называется действительной прямой . В случае комплексных чисел у нас есть уже целых два действительных числа — а и b — которые могут рассматриваться как координаты комплексного числа а + ib . Эти два числа дают нам две координаты точки на плоскости, в данном случае — на плоскости Аргана. Для примера я указал на рис. 3.9 приблизительные положения комплексных чисел

u = 1 + i 1,3, v = - 2 + i, w = - 1,5— i 0,4.

Теперь основные алгебраические операции сложения и умножения комплексных чисел приобретают ясную геометрическую интерпретацию. Рассмотрим сначала сложение. Предположим, что u и v это два комплексных числа, представленные на плоскости Аргана в соответствии с описанной выше схемой. Тогда сумма этих двух чисел u + v представляется «векторной суммой» двух точек, то есть точка u + v находится на месте недостающей вершины параллелограмма, образованного точками u , v и началом координат 0 . Нетрудно убедиться, что эта конструкция (рис. 3.10) действительно дает сумму двух чисел, но соответствующее доказательство я здесь опускаю.

Произведение uv двух комплексных чисел тоже имеет простую, хотя и, быть может, несколько менее очевидную геометрическую интерпретацию (рис. 3.11). (Я опять опускаю доказательство.)

Угол при начале координат между 1 и uv равен сумме углов между 1 и v и между 1 и u (все углы измеряются против часовой стрелки), а расстояние точки uv от начала координат равно произведению расстояний от начала координат до u и v . Это эквивалентно утверждению, что треугольник, образованный точками 0 , v и uv подобен (и ориентирован подобно) треугольнику, образованному точками 0 , 1 и u . (Энергичные читатели, не знакомые с такого рода построениями, могут сами убедиться в том, что эти построения непосредственно следуют из только что приведенных алгебраических правил сложения и умножения комплексных чисел, также как и упомянутые выше тригонометрические тождества.)

Теперь мы можем рассмотреть, как определяется множество Мандельброта. Пусть z — это некоторое произвольное комплексное число. Каковым бы ни было это число, оно представляется некоторой точкой на плоскости Аргана. Рассмотрим теперь отображение, при котором z превращается в новое комплексное число, равное

z -> z 2+ с ,