A к.о. х, у [ х + у = у + х ],

A к.о. х , у , z [( x + у ) х z = ( x х z ) + ( у х z )],

хотя некоторые предпочитают определять арифметические операции через более простые понятия и выводить вышеуказанные утверждения как теоремы. Правила выводамогут вводиться в виде (самоочевидных) процедур типа

«Из Р и Р => Q следует Q ».

«Из A к.о. x [ R ( x )] мы можем вывести любое утверждение, получающееся путем подстановки конкретного натурального числа x в R ( x )».

Такие правила являются инструкциями, следуя которым, можно с помощью утверждений, чья истинность уже доказана, получать новые утверждения.

Теперь, отталкиваясь от системы аксиом и раз за разом применяя правила вывода, мы имеем возможность построить достаточно длинные цепочки новых утверждений. На любой стадии этого процесса мы можем использовать снова и снова любую из аксиом, а также обратиться к любому из уже выведенных нами производных утверждений. Каждое утверждение из корректно выстроенной цепочки называется теоремой (несмотря на то, что многие из них достаточно тривиальны и неинтересны с точки зрения математики). Если у нас есть некое утверждение Р , которое мы хотим доказать, то мы должны подобрать такую цепочку, выстроенную в согласии с действующими правилами вывода, которая заканчивается утверждением Р . Такая цепочка предоставит нам доказательство Р в рамках системы; а Р тогда будет являться, соответственно, теоремой.

Идея программы Гильберта состояла в том, чтобы найти применительно к любой отдельно взятой области математики набор аксиом и правил вывода, который был бы достаточно полным для всех возможных в данной области корректных математических рассуждений. Пусть такой областью будет арифметика (с добавленными кванторами E к.с. и A к.о. , позволяющими формулировать утверждения, подобные последней теореме Ферма). То, что мы не рассматриваем более общую область математики, не умаляет нашу задачу: арифметика и сама по себе обладает общностью, достаточной для применения процедуры Геделя. Если мы допустим, что благодаря программе Гильберта мы действительно располагаем такой всеобъемлющей системой аксиом и правил вывода для арифметики, то мы тем самым обретаем и определенный критерий для выявления «корректности» математического доказательства любого утверждения в области арифметики. Возлагались надежды на то, что подобная система аксиом и правил может быть полной в смысле предоставляемой нам принципиальной возможности решать, истинно или ложно произвольноеутверждение, сформулированное в рамках этой системы.

Гильберт рассчитывал, что для любой строки символов, представляющих математическое утверждение, скажем, Р , можно будет доказать либо Р , либо ~ Р , если Р истинно или ложно, соответственно. Здесь мы в обязательном порядке оговариваем, что строка должна быть синтаксически корректна, где «синтаксически корректна» по сути означает «грамматически корректна» — то есть удовлетворяет всем правилам записи, принятым в данном формализме, среди которых будет правильное попарное соответствие скобок и т. п. — так чтобы Р всегда имело четко определенное значение «ложь» или «истина». Если бы надежды Гильберта оправдались, то можно было бы вообще не задумываться о том, что означает то или иное утверждение! Р было бы просто-напросто синтаксически корректной строкой символов. Строке было бы приписано значение ИСТИНА, если бы Р являлось теоремой (другими словами, если бы Р было доказуемо в рамках системы); или же ЛОЖЬ, если бы теоремой было ~ Р . Чтобы такой подход имел смысл, мы должны дополнительно к условию полноты наложить еще и условие непротиворечивости, гарантирующее отсутствие такой строки символов Р , для которой как Р , так и ~ Р были бы теоремами. Ведь в противном случае Р могло бы быть одновременно и ИСТИНОЙ, и ЛОЖЬЮ!

Такой подход, согласно которому можно пренебрегать смысловыми значениями математических выражений и рассматривать их лишь как строки символов некоторой формальной математической системы, в математике получил название формализма. Некоторым нравится эта точка зрения, с которой математика превращается в своего рода «бессмысленную игру». Однако я сам не являюсь сторонником таких идей. Все-таки именно «смысл» — а не слепые алгоритмические вычисления — составляет сущность математики. К счастью, Гедель нанес формализму сокрушающий удар! Давайте посмотрим, как он это сделал.

Часть доказательства, приведенного Геделем, содержало некий очень сложный и детализированный кусок. Однако нам не обязательно разбираться во всех его тонкостях. Основная идея, в то же время, была проста, красива и глубока. И ее мы сможем оценить по достоинству. В «сложной» части (которая, впрочем, содержит много остроумных рассуждений) подробно показано, каким образом частные правила вывода и использование различных аксиом формальной процедуры могут быть представлены в виде арифметических операций. (Хотя в сложной части становится понятной плодотворность этих действий!) Для этого представления нам необходимо будет найти какой-нибудь удобный способ нумерации утверждений при помощи натуральных чисел. Один из способов мог бы заключаться в том, чтобы использовать своего рода «алфавитный» порядок для строчек символов формальной системы, имеющих одинаковую длину, упорядочить заранее строчки по длине. (Таким образом, за выстроенными в алфавитном порядке строками из одного символа будут следовать строки длиной в два символа, также упорядоченные по алфавиту; за ними идут строки из трех символов и так далее.) Это называется лексикографическим порядком [72] . В действительности Гедель использовал более сложную систему нумерации, но различия в данном случае для нас несущественны. Нас же должны в особенности интересовать функции исчисления высказыванийодной переменной, наподобие введенной выше G ( ). Пусть n – я(из пронумерованных выбранным способом строк символов) такая функция от аргумента обозначается

P n ( ).

Мы можем допустить, чтобы наша нумерация по желанию была несколько «либеральна» в отношении синтаксически некорректных выражений. (Это позволит значительно упростить перевод системы на язык арифметических операций по сравнению со случаем, когда мы будем стараться исключить из рассмотрения синтаксически некорректные выражения.) Если P n синтаксически корректно, то оно будет представлять из себя некоторое совершенно определенное арифметическое выражение, в котором фигурируют два натуральных числа п и ад. Каков будет конкретный видэтого выражения — зависит от особенностей системы нумерации, которую мы выбрали. Но эти детали рассматриваются в «сложной» части и сейчас нас не касаются. Пусть П n будет n – м доказательством. (Опять же мы можем использовать «либеральную нумерацию», когда для некоторых значений n выражение П n не является синтаксически корректным и, тем самым, не доказывает никакую теорему.)