имеет решения х = 4, у = -3. Таким образом, изменение всего одного коэффициента менее, чем на одну сотую приводит к изменению решений вдвое и втрое. Поскольку в практических задачах исходные данные известны часто с точностью меньшей, чем одна сотая, то решения системы (22)—(23) для практики не пригодны. Их некритическое использование может привести к авариям и катастрофам.

Но ничего этого нельзя заметить при исследовании системы (25)—(26), которая эквивалентна исходной системе (22)—(23) и получена из нее путем эквивалентных преобразований. Система (25)—(26) мало чувствительна к малым изменениям своих коэффициентов.

Если каждый из них изменится на ± 0,01 то решения изменятся не более, чем на ± 4 %, а совсем не вдвое и втрое.

Таким образом, простая система (22)—(23) иллюстрирует главный и наиболее важный вывод: эквивалентные преобразования, широко (и часто некритично) применяемые при расчетах, не меняя самих решений как таковых, могут изменять многие важные свойства решений и, в частности — могут изменять их чувствительность к неизбежным на практике малым неточностям исходных данных, которые почти всегда получаются из опыта или измерения и поэтому имеют ограниченную точность.

Данному явлению можно дать и вполне наглядную иллюстрацию: уравнения (22)—(23) — это уравнения прямых на плоскости с осями 0x и 0у, а решения х = 2, у = — 1 — это координаты точки их пересечения. На рис. 1 показаны прямые, соответствующие уравнениям (22)—(23). Эти прямые пересекаются в точке X — 2, у ——1 под очень острым углом. Именно поэтому координаты их точки пересечения очень чувствительны к изменениям коэффициентов уравнений (22)—(23).

На рис. 2 показаны прямые, соответствующие уравнениям системы (25)—(26), которая, как уже говорилось, эквивалентна исходной системе (22)—(23). Мы убеждаемся, что точка пересечения прямых, как и должно быть, осталась прежней х = 2, у = —1, но угол между прямыми стал совсем другим, гораздо менее острым, и поэтому высокая чувствительность решений к малым неточностям в исходных данных кажется исчезнувшей.

Конечно, в простейшей системе из двух уравнений все ясно, но уже в системах из 5—7, а тем более из многих десятков уравнений уже совсем не ясно, к каким погрешностям решений приведет погрешность исходных данных, например, на ±1 %. Поэтому отсутствие во многих пакетах прикладных программ оценок погрешностей решений систем уравнений в зависимости от погрешностей исходных данных является недостатком, который может быть источником ошибок в расчетах, а значит — порожденных этими ошибками аварий и катастроф.

5. Для решения ряда практических задач используют, как известно, интегральные уравнения, и некоторые пакеты прикладных программ снабжены программами их решения. Методы решения интегральных уравнений были рассмотрены профессором В. С. Сизиковым в монографии [3], где им были обнаружены недостатки традиционных методов и программ, связанные с тем, что применяемые при решении эквивалентные преобразования интегральных уравнений в ряде случаев изменяют корректность решаемой задачи и тем самым приводят к ошибкам.

В монографии [3] описаны найденные В. С. Сизиковым усовершенствованные методы решения интегральных уравнений, позволяющие восстановить достоверность компьютерных вычислений решений интегральных уравнений. Эти методы применены в монографии [3] к правильной реконструкции смазанных и дефокусированных изображений, в т. ч. изображений медицинских объектов, полученных методами рентгеновской и ядерномагнитно-резонансной томографии.

Изложенные пять пунктов не исчерпывают всех примеров необходимости совершенствования методов вычислений, связанных с открытием в Санкт-Петербургском государственном университете новых свойств эквивалентных преобразований. Поскольку эквивалентные преобразования очень широко используются в математике и в самых различных областях инженерных расчетов, то нет сомнений в том, что в дальнейшем будут открыты новые возможности уточнения методов расчета и проектирования, еще более уменьшающие вероятность техногенных аварий и катастроф.

Наука может очень много сделать для обеспечения безопасности человеческой жизни. Нужно только шире использовать ее рекомендации. Но вот с использованием рекомендаций и предостережений науки дело обстоит далеко не просто. В последней, третьей части книги будет рассказано об очень непростой борьбе за безопасность в авиации — борьбе, которую вели сотрудники Санкт-Петербургского и Балтийского технического государственных университетов.

В настоящей третьей части книги дается более подробный рассказ — с документами и материалами переписки — о борьбе Балтийского государственного технического университета (БГТУ) и Санкт-Петербургского государственного университета (СПбГУ) за безопасность авиапассажиров и о нежелании Федерального государственного унитарного предприятия (ФГУП) «Пулково» и Госавианадзора эту безопасность обеспечивать. Об этом уже было кратко рассказано в §8 («Бездействие властей»), а теперь читатель может ознакомиться с документами, с ответами (и отписками!) должностных лиц. Читатель убедится, что в сегодняшних условиях борьба за безопасность в авиации (как и в других областях техники) является далеко не простым делом. Читатель увидит, как готовятся техногенные катастрофы и кто их готовит.