§ 5. Численнов решение уравнений

Давайте теперь действительно решим нашу задачу. Допус­тим, что мы взяли e=0,100 сек. (Если после того, как мы про­делаем все вычисления, окажется, что этот интервал не достаточ­но мал, то необходимо повторить все сначала с меньшим интервалом времени, например 0,010 сек.) Чему будет равно х(0,1), если в начальный момент времени х (0) = 1? Оно равно старому положению х(0) плюс скорость в начальный момент (которая равна нулю), умноженная на 0,10 сек. Таким образом, х(0,1) равно 1,00, ибо грузик еще не начал двигаться. Но новая скорость в момент 0,10 сек будет равна старой скорости v (0)=0 плюс e, умноженное на ускорение. А само ускорение равно -х(0)=-1,00. Так что

v(0,1)=0,00+0,10·1,00=-0,10. В момент 0,20 сек

х(0,2)=х(0,1)+ev(0,1)=1,00-0,10·0,10=0,99

и

v(0,2)=v(0,1)+ ea(0,1) =-0,10-0,10·1,00 =-0,20.

Продолжая эту процедуру еще и еще, можно найти положение и скорость в любой момент времени, а это как раз то, что нам нужно. Однако практически мы используем нехитрый прием, который позволит увеличить точность вычислений. Если бы мы продолжали начатые нами расчеты, то они оказались бы до­вольно грубыми, поскольку интервал e=0,10 сек довольно большой. Пришлось бы уменьшить его, скажем, до 0,01 сек. Но тогда, чтобы проследить движение за какой-то разумный отрезок времени, потребовалось бы сделать множество шагов. Мы же организуем процесс таким образом, что сможем увели­чить точность, используя тот же интервал e=0,10 сек. Этого можно достичь, несколько изменив метод расчета.

Заметьте, что новое положение тела равно старому плюс интервал времени e, умноженный на скорость. Но что это за скорость? В какой момент? В начале интервала одна скорость, а в конце она совсем другая. Прием состоит в том, чтобы брать скорость в середине интервала. Если известна скорость в на­стоящий момент и известно, что она меняется, как же можно надеяться получить удовлетворительный результат, считая, что тело все время движется с той же скоростью, что и в на­стоящий момент? Более разумно использовать какую-то сред­нюю скорость между началом и концом интервала. Те же рассуждения применимы к изменению самой скорости: для под­счета ее изменений нужно использовать ускорение в средней точке между двумя моментами времени, в которых необходимо найти скорость. Таким образом, реально мы будем пользовать­ся следующими уравнениями: положение в конце интервала равно положению в начале плюс интервал e, умноженный на скорость в середине интервала. Эта скорость в свою очередь равна скорости в середине предыдущего интервала (т. е. на отрезок e меньше) плюс ускорение в начале интервала, умно­женное на e.

Таким образом, мы будем пользоваться уравнениями

Остается еще один небольшой вопрос: что такое v (e/2)? Вна­чале у нас было v (0), а не v (-e/2). Но теперь, чтобы начать наши вычисления, необходимо использовать дополнительное уравнение v(e/2)=v (0)+( e/2)а(0).

Таблица 9.1 · решение уравнения (dvx/dt)=-x Интервал e=0,10 сек

Ну, а теперь все готово для расчетов. Для удобства можно их выполнить в виде таблицы, в столбцах которой стоят время, положение, скорость и ускорение, причем скорость пишется в промежутках между строками (табл. 9.1). Такая таблица есть, конечно, просто удобный способ записи результатов, по­лученных из уравнений (9.16), и фактически полностью заме­няет их. Мы просто заполняем одно за другим свободные места в ней и получаем очень интересную картину движения: сначала грузик находится в покое, затем понемногу приобретает отри­цательную скорость (вверх), а это приводит к уменьшению его расстояния от точки равновесия. При этом хотя ускорение и становится меньше, оно все еще «подгоняет» скорость. Однако по мере приближения к положению равновесия (х=0) уско­рение становится все меньше и меньше, скорость нарастает все медленней и медленней, но все же еще нарастает вплоть до точки x=0, которая достигается примерно через 1,5 сек. Скажем по секрету, что произойдет дальше. Грузик, конечно, не остано­вится в точке х=0, а пойдет дальше, но теперь все пойдет наоборот: его положение х станет отрицательным, а ускоре­ние — положительным. Скорость начнет уменьшаться. Инте­ресно сравнить полученные нами числа с функцией cost. Результат этого сравнения представлен на фиг. 9.4.

Фиг. 9.4. График движения грузика на пружинке.

Оказы­вается, что в пределах точности наших расчетов (три знака после запятой) совпадение полное! Позднее вы узнаете, что функция cos t — точное решение нашего уравнения, так что у вас теперь есть наглядное представление о мощи численного анализа: столь простой расчет дает столь точный результат.

§ 6. Движение планет

Приведенный анализ очень подходит к движению осцилли­рующей пружинки с грузиком, но можно ли таким же путем вычислять движение планеты вокруг Солнца? Давайте посмот­рим, можно ли при некоторых приближениях получить эллип­тическую орбиту. Предположим, что Солнце бесконечно тяжелое в том смысле, что его движение не будет приниматься в расчет.

Допустим, что в известной точке планета начала свое дви­жение и имеет определенную скорость. Она движется во­круг Солнца по какой-то кривой, и мы попытаемся определить с помощью уравнений движения Ньютона и его же закона все­мирного тяготения, что это за кривая. Как это сделать? В не­который момент времени планета находится в каком-то опреде­ленном месте, на расстоянии r от Солнца; в этом случае извест­но, что на нее действует сила, направленная по прямой к Солнцу, которая, согласно закону тяготения, равна определенной по­стоянной, умноженной на произведение масс планеты и Солнца и деленной на квадрат расстояния между ними. Чтобы рассуж­дать дальше, нужно выяснить, какое ускорение вызывает эта сила.

Однако в отличие от предыдущей задачи нам потребуются теперь компоненты ускорения в двух направлениях, которые мы назовем х и у. Положение планеты в данный момент будет определяться координатами х и у, поскольку третья коорди­ната z всегда равна нулю.

Действительно, координатная плоскость ху выбрана нами таким образом, что z-компоненты как силы, так и начальной скорости равны нулю, а поэтому нет никаких причин, которые бы заставили планету выйти из этой плоскости. Сила при этом будет направлена по линии, соединяющей планету с Солнцем, как это показано на фиг. 9.5.

Фиг. 9.5. Сила притяжения, действующая на планету.

Из этого рисунка видно, что горизонтальная компонента силы так относится к полной ее величине, как координата х относится к расстоянию r. Это сразу следует из подобия тре­угольников. Кроме того, если х положительна, то Fx отрица­тельна, и наоборот.

Таким образом, FxъFъ=-x/r, или Fя=-ъFъxlr=-GM mx/r3 и соответственно Fy=-GMmy/r3. Теперь можно воспользо­ваться динамическими законами (9.7) и написать, что х- или y-компонента ускорения, умноженная на массу планеты, равна соответственно х- или y-компоненте силы: