Шрифт:
В трехмерном случае точно таким же способом можно получить
Ускорения мы определяем таким же образом, как и скорости: x-компонента ускорения ахопределяется как производная от x-компоненты скорости vx(т. е. ax=d2x/dt2 — вторая производная по времени) и т. д.
Давайте рассмотрим еще один интересный пример смешанного движения на плоскости. Пусть шарик движется в горизонтальном направлении с постоянной скоростью u и в то же время падает вертикально вниз с постоянным ускорением g. Что это за движение? Так как vx=dxldt=u и, следовательно, скорость vxпостоянна, то
x=ut, (8.17)
а поскольку ускорение движения вниз постоянно и равно -g, то координата у падающего шара дается формулой
y= -1/2gt2. (8.18)
Какую же кривую описывает наш шарик, т. е. какая связь между координатами x и y? Из уравнения (8.18), согласно (8.17), можно исключить время, поскольку t=x/u, после чего находим
y=-(g/2u2)x2 (8.19)
Эту связь между координатами х и у можно рассматривать как уравнение траектории движения шарика. Если изобразить ее графически, то получим кривую, которая называется параболой (фиг. 8.4).
Фиг. 8.4. Парабола, которую описывает падающее тело, брошенное с горизонтальной начальной скоростью.
Так что любое свободно падающее тело, будучи брошенным в некотором направлении, движется по параболе.
Глава 9
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ НЬЮТОНА
§ 1. Импульс и сила
§ 2. Компоненты скорости, ускорения и силы
§ 3. Что такое сила?
§ 4. Смысл динамических уравнений
§ 5. Численное решение уравнении
§ 6. Движение планет
§ 1. Импульс и сила
Открытие законов динамики или законов движения стало одним из наиболее драматических моментов в истории науки. До Ньютона движение различных тел, например планет, представлялось загадкой для ученых, но после открытия Ньютона все вдруг сразу стало понятно. Смогли быть вычислены даже очень слабые отклонения от законов Кеплера, обусловленные влиянием других планет. Движение маятника, колебания груза, подвешенного на пружине, и другие непонятные до того явления раскрыли свои загадки благодаря законам Ньютона. То же самое можно сказать и об этой главе. До нее вы не могли рассчитать, как движется грузик, прикрепленный к пружине, не говоря уже о том, чтобы определить влияние Юпитера и Сатурна на движение Урана. Но после этой главы вам будет доступно и то и другое!
Первый большой шаг в понимании движения был сделан Галилеем, когда он открыл свой принцип инерции: тело, предоставленное самому себе, если на него не действует никакая сила, сохраняет свое прямолинейное движение с постоянной скоростью, как двигалось до этого, или остается в покое, если оно до этого покоилось. Конечно, в природе такого не бывает. Попробуйте толкнуть кубик, стоящий на столе. Он остановится. Причина в том, что кубик трется о стол, он не предоставлен самому себе. Нужно иметь очень богатое воображение, чтобы увидеть за этим принцип инерции.
Естественно нужно еще разрешить следующий вопрос: а как изменяется скорость тела, если на него что-то действует? Ответ был дан Ньютоном. Он сформулировал три закона. Первый закон представляет собой просто повторение принципа инерции Галилея. Второй закон говорит о том, как изменяется скорость тела, когда оно испытывает различные влияния, т. е. когда на него действуют силы. Третий закон в каком-то смысле описывает силы, но о нем мы поговорим несколько позже. Здесь будет идти речь о Втором законе, согласно которому под действием силы движение тел изменяется следующим образом: скорость изменения со временем некой величины, называемой количеством движения, или импульсом, пропорциональна силе. Позднее мы запишем короткую математическую формулировку этого закона, а сейчас давайте разберемся в его содержании.