Ответ мы получим только для прямоугольного ящика. Для произвольного ящика выходит то же, только выкладки куда сложней. Нас еще будет интересовать ящик, размеры которого намного больше длины световых волн. В этом случае типов колебаний будет мириады и мириады; в каждом малом интер­вале частот Dw их окажется очень много, так что можно будет говорить об их «среднем числе» в каждом интервале Dw при частоте to. Начнем с того, что спросим себя, сколько типов колебаний бывает в одномерном случае — у волн в натянутой струне. Вы знаете, что каждый тип колебаний — это синусоида, кривая, обращающаяся на обоих концах в нуль; иначе говоря, на всей длине линии (фиг. 2.8) должно укладываться целое число полуволн.

Фиг. 2.8. Типы стоячих волн на отрезке.

Мы предпочитаем пользоваться волновым числом k=2p/l; обозначая волновое число j– го типа колебаний через kj, получаем

где j — целое. Промежуток dk между последовательными ти­пами равен

Нам удобно выбрать столь большое kL, что в малом интервале Dk; оказывается множество типов колебаний.

Обозначив число типов колебаний в интервале Dk через

, имеем

Физики-теоретики, занимающиеся квантовой механикой, обычно предпочитают говорить, что типов колебаний вдвое меньше; они пишут

И вот почему. Им обычно больше нравится мыслить на языке бегущих волн — идущих направо (с k положительными) и идущих налево (с k отрицательными). Но «тип колебаний», или «собственное колебание»,— это стоячая волна, т. е. сумма двух волн, бегущих каждая в своем направлении. Иными словами, они считают, что каждая стоячая волна включает два различ­ных фотонных «состояния». Поэтому если предпочесть под

подразумевать число фотонных состояний с данным k (где теперь уже k может быть и положительным, и отрицательным), то тогда окажется вдвое меньше. (Все интегралы теперь нужно будет брать от k=-Ґ до k =+Ґ, и общее число состояний вплоть до любого заданного абсолютного значения k получится таким, как надо.) Конечно, стоячие волны мы тогда не сможем хорошо описывать, но подсчет типов колебаний бу­дет идти согласованно.

Теперь наши результаты мы обобщим на три измерения. Стоячая волна в прямоугольном ящике должна обладать целым числом полуволн вдоль каждой оси. Случай двух измерений дан на фиг. 2.9.

Фиг. 2.9. Типы стоячих волн в двух измерениях.

Каждое направление и частота волны описываются вектором волнового числа k. Его х-, у- и z-компоненты должны удовлетворять уравнениям типа (2.34). Стало быть, мы имеем

Число типов колебаний с kxв интервале Dkx, как и прежде, равно

то же и с Dky, и с Dkz. Если обозначить через

(k) число таких типов колебаний, в которых векторное волновое число k обладает х-компонентой в интервале от kxдо kx+Dkx, у-компонентой в интервале от kyдо ky+Dky и z-компонентой в интервале от kzдо. kz +Dkz, то

Произведение Lx Ly Lz — это объем V ящика. Итак, мы пришли к важному результату, что для высоких частот (длин волн, меньших, чем габариты полости) число мод (типов колебаний) в полости пропорционально ее объему V и «объему в k– пространстве» DkхDkyDkz. Этот результат то и дело появляется то в од­ной, то в другой задаче, и его стоит запомнить:

Хоть мы этого и не доказали, результат не зависит от формы

ящика.

Теперь мы применим этот результат для того, чтобы найти число фотонных мод для фотонов с частотами в интервале Dw. Нас интересует всего-навсего энергия разных собственных ко­лебаний, а не направления самих волн. Мы хотим знать число собственных колебаний в данном интервале частот. В вакууме величина k связана с частотой формулой

|k| =w/c. (2.39)