Шрифт:
Это означает также, что тензор поляризуемости можно найти простым измерением энергии, необходимой для поляризации кристалла в различных направлениях. Предположим, мы сначала взяли электрическое поле Е с компонентами х и у; тогда, согласно уравнению (31.7),
Если бы у нас была только одна компонента Ех, мы могли бы определить aхх, а с одной компонентой Еyможно определить ayy . Включив обе компоненты Ехи Еy, мы из-за присутствия члена (aху+aух) получим добавочную энергию, ну а поскольку axy и ayx равны, то этот член превращается в 2axy и может быть вычислен из добавочной энергии.
Выражение для энергии (31.8) имеет очень красивую геометрическую интерпретацию. Предположим, что нас интересует, какие поля Ехи Еyотвечают данной плотности энергии, скажем u0. Возникает чисто математическая задача решения уравнения
Это уравнение второй степени, так что, если мы отложим по осям величины Ехи Еy , решением этого уравнения будут все точки эллипса (фиг. 31.2).
Фиг. 31.2 Конец любого вектора E =(E x , e v ) , лежащего на этой кривой, дает одну и ту же анергию поляризации.
(Это должен быть именно эллипс, а не парабола и не гипербола — ведь энергия поля всегда положительна и конечна.) А само Е с компонентами Ехи Еyпредставляет вектор, идущий из начала координат до точки на эллипсе. Такой «энергетический эллипс» — хороший способ «увидеть» тензор поляризуемости.
Если теперь пустить в дело все три компоненты, то любой вектор Е, необходимый для создания единичной плотности энергии, задается точками, расположенными на эллипсоиде, подобно изображенному на фиг. 31.3. Форма этого эллипсоида постоянной энергии однозначно характеризует тензор поляризуемости.
Заметьте теперь, что эллипсоид имеет очень интересное свойство — его всегда можно описать простым заданием направления трех «главных осей» и диаметров эллипсоида по этим осям. Такими «главными осями» являются направления наименьшего и наибольшего диаметра и направление, перпендикулярное к ним. На фиг. 31.3 они обозначены буквами а, b и с.
Фиг. 31.3. Эллипсоид анергии для тензора поляризуемости.
По отношению к этим осям уравнение эллипсоида имеет особенно простую форму:
Итак, по отношению к главным осям у тензора поляризуемости останутся только три ненулевые компоненты aаа, abbи aсс. Другими словами, сколь бы ни был сложен кристалл, всегда можно выбрать оси так (они не обязательно будут осями самого кристалла), что у тензора поляризуемости останется только три компоненты. Уравнение (31.4) для таких осей становится особенно простым:
Ра =aааЕа, Рb =abbEb, Рс =aссЕс. (31.9)
Иначе говоря, электрическое поле, направленное по любой одной из главных осей, дает поляризацию, направленную по той же оси, но, разумеется, для различных осей коэффициенты будут разными.
Тензор часто записывается в виде таблицы из девяти коэффициентов, взятых в скобки:
Для главных же осей а, b и с в таблице остаются только диагональные члены, поэтому мы говорим, что тензор становится «диагональным», т. е.
Самое важное здесь то, что к такой форме подходящим выбором осей координат можно привести любой тензор поляризуемости (фактически любой симметричный тензор второго ранга какого угодно числа измерений).
Если все три элемента тензора поляризуемости в диагональной форме равны друг другу, т. е. если
то эллипсоид энергии превращается в сферу, поляризуемость во всех направлениях становится одинаковой, а материал изотропным. В тензорных обозначениях
где.dij—единичный тензор:
что, разумеется, означает